2020年入試問題研究に戻るお茶の水女大理後期1番
すべての自然数 $ n $ に対して $ a_{n+p}=a_n $ を満たすような自然数 $ p $ があるとき，数列 $ \{a_n\} $ は周期的であるといい，このような $ p $ のうち最小のものを $ \{a_n\} $ の周期という．
実数 $ q $ に対し，次の条件を満たす数列 $ \{a_n\} $ を考える． \[ a_{n+1}= \left\{ \begin{array}{ll} q&(a_n=0\ のとき)\\ q-\dfrac{1}{a_n}&(a_n\ne 0\ のとき) \end{array} \right. \] 以下の問いに答えよ．(1) $ q=\sqrt{3} $ のとき，数列 $ \{a_n\} $ は周期的であることを示し，その周期を求めよ．
(2) $ x^2-qx+1=0 $ が2つの実数解をもつとし，それらの解を $ \alpha,\ \beta $ $ (0<|\alpha|< |\beta|) $ とする． $ \{a_n\} $ が周期1の数列ではなく，すべての $ n $ に対して $ a_n\ne 0 $ であるとする． このとき，すべての $ n $ に対し， $ a_n\ne \alpha $ であることを示し， 数列 $ \{b_n\} $ を \[ b_n=\dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha} \] と定めれば数列 $ \{b_n\} $ は等比数列となることを示せ．
(3) (2)の数列 $ \{a_n\} $ に対し，極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n $ が存在することを示し，その値を求めよ．
(4) $ q=2 $ のとき，数列 $ \{a_n\} $ に対し，極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n $ が存在することを示し，その値を求めよ．