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お茶の水女大理後期1番解答

(1)　 \begin{eqnarray*} a_{n+2}&=&\sqrt{3}-\dfrac{1}{a_{n+1}} =\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\dfrac{1}{a_n}}=\dfrac{2a_n-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n-1}\\ ∴\quad a_{n+4}&=&\dfrac{2a_{n+2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_{n+2}-1} =\dfrac{\dfrac{4a_n-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n-1}-\sqrt{3}}{\dfrac{2\sqrt{3}a_n-3}{\sqrt{3}a_n-1}-1} =\dfrac{a_n-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n-2}\\ ∴\quad a_{n+6}&=&\dfrac{2a_{n+4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_{n+4}-1} =\dfrac{\dfrac{2a_n-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n-2}-\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}a_n-3}{\sqrt{3}a_n-2}-1}=\dfrac{-a_n}{-1}=a_n \end{eqnarray*} これより， $ q=\sqrt{3} $ のとき，数列 $ \{a_n\} $ は周期的であり，その周期は6である．

(2)　 ある $ n $ で $ a_n=\alpha $ とする． このとき， $ {a_n}^2-qa_n+1=0 $ である． $ a_n\ne 0 $ なので， $ a_n=q-\dfrac{1}{a_n} $ となる． これより $ a_{n+1}=q-\dfrac{1}{a_n} $ なので， $ a_{n+1}=a_n $ となる．これから $ a_{n+1}=q-\dfrac{1}{a_n+1} $ も成り立ち， 同様に $ a_{n+2}=a_{n+1} $ である．
また $ a_n=q-\dfrac{1}{a_{n-1}} $ なので， $ a_n=a_{n-1} $ も成り立つ．
これらを繰り返すことで， $ a_n=a_{n+1} $ がすべての $ n $ で成立し，周期が1となり，条件に反する． よって，すべての $ n $ で $ a_n\ne \alpha $ である．
次に，解と係数の関係から $ \alpha+\beta=q $ ， $ \alpha\beta=1 $ であるので， \begin{eqnarray*} b_{n+1}&=&\dfrac{a_{n+1}-\beta}{a_{n+1}-\alpha}=\dfrac{q-\dfrac{1}{a_n}-\beta}{q-\dfrac{1}{a_n}-\alpha}\\ &=&\dfrac{qa_n-1-\beta a_n}{qa_n-1-\alpha a_n}=\dfrac{(\alpha+\beta)a_n-\alpha\beta-\beta a_n}{(\alpha+\beta)a_n-\alpha\beta-\alpha a_n}=\dfrac{\alpha a_n-\alpha\beta}{\beta a_n-\alpha\beta}\\ &=&\dfrac{\alpha}{\beta}\left( \dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}\right)=\dfrac{\alpha}{\beta}b_n \end{eqnarray*} となり，数列 $ \{b_n\} $ は公比 $ \dfrac{\alpha}{\beta} $ の等比数列である．

(3)　 $ r=\dfrac{\alpha}{\beta} $ とおく． $ b_n=b_1r^{n-1} $ である． これより $ \dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}=r^{n-1}b_1 $ となる．これを $ a_n $ について解いて $ a_n=\dfrac{\beta-b_1r^{n-1}\alpha}{1-b_1r^{n-1}} $ となる．
ここで， $ |r|<1 $ なので， \[ \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\dfrac{\beta-b_1r^{n-1}\alpha}{1-b_1r^{n-1}}=\beta \] である．

(4)　 $ q=2 $ のとき，漸化式を変形して \[ a_{n+1}-1=1-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n-1}{a_n} \] 逆数をとって \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{a_n}{a_n-1}=1+\dfrac{1}{a_n-1} \] したがって数列 $ \left\{\dfrac{1}{a_n-1}\right\} $ は公差1の等差数列である． よって， \[ \dfrac{1}{a_n-1}=n-1+\dfrac{1}{a_1} \] よって， \[ a_n-1=\dfrac{1}{n-1+\dfrac{1}{a_1}} \] となり $ n\to \infty $ のとき右辺は0に収束するので， \[ \lim_{n \to \infty}a_n=1 \] である．

問題