2020年入試問題研究に戻るお茶の水女大理後期2番
$ n $ を2より大きい自然数とする． 座標平面において，原点を中心とし半径1の円に内接する正 $ n $ 角形 $ \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2\cdots \mathrm{A}_n $ がある． ただし $ \mathrm{A}_1 $ の座標は $ (1,\ 0) $ とし， $ \mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\cdots ,\mathrm{A}_n $ はこの順に反時計回りに並んでいるものとする． すなわち， $ m $ を1以上 $ n $ 以下の整数とするとき， $ \mathrm{A}_m $ の座標は \[ \left(\cos\dfrac{2(m-1)\pi}{n},\ \sin\dfrac{2(m-1)\pi}{n} \right) \] である．袋に1から $ n $ までの番号をつけた $ n $ 個の球が入っている． この袋から1つの球を取り出して，取り出した球の番号が $ k $ のとき， 原点と $ \mathrm{A}_k $ を通る直線を対称軸として正 $ n $ 角形 $ \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2\cdots \mathrm{A}_n $ を裏返した後， 取り出した球を袋に戻す操作を考える．
(1) この操作を1回行い，取り出した球の番号が $ k $ であるとき， 頂点 $ \mathrm{A}_m $ が移った先の座標を求めよ．
(2) この操作を2回行い，取り出した球の番号が1回目は $ k $ で， 2回目が $ l $ であるとき，頂点 $ \mathrm{A}_m $ が移った先の座標を求めよ．
(3) $ j $ を自然数とする． $ j $ 回の操作で $ \mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\cdots ,\mathrm{A}_n $ が同時に元の位置に戻る確率を求めよ．
(4) $ j $ を自然数とする． $ j $ 回の操作で初めて $ \mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\cdots ,\mathrm{A}_n $ が同時に元の位置に戻る確率を求めよ．