2020年入試問題研究に戻る 東北大AO (1) 自然数 $ n $ と実数 $ x\ (0< x< \pi) $ に対して，次を示せ． \[ \sum_{k=1}^n\cos(kx)=\dfrac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cos\dfrac{(n+1)x}{2} \] (2) 自然数 $ n $ と実数 $ x\ (0< x< \pi) $ に対して，次を示せ． \[ \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin(kx)}{k} >0 \] 解答
(1) 自然数 $ n $ と実数 $ x\ (0< x< \pi) $ に対して，次を示せ． \[ \sum_{k=1}^n\cos(kx)=\dfrac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cos\dfrac{(n+1)x}{2} \]
(2) 自然数 $ n $ と実数 $ x\ (0< x< \pi) $ に対して，次を示せ． \[ \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin(kx)}{k} >0 \]
解答