東北大理系5番解答
(1) \[ z=\dfrac{-1(t-i)}{t^2+1}=-\dfrac{t}{t^2+1}+\dfrac{1}{t^2+1}i \] より \[ 実部=-\dfrac{t}{t^2+1},\ \quad 虚部=\dfrac{1}{t^2+1} \]
(2) \[ \left|\dfrac{-1}{t+i} \right|=\dfrac{1}{|t+i|}=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+i}} \]
(3) $ z=x+iy $ と置くと，(1)とあわせて， $ z $ の軌跡は \[ \left\{ \begin{array}{l} x=-\dfrac{t}{t^2+1}\\ y=\dfrac{1}{t^2+1} \end{array} \right. \left(-1\leqq t \leqq 1 \right) \] と媒介変数表示される． $ 1\leqq t^2+1 \leqq 2 $ であるから， $ \dfrac{1}{2}\leqq y \leqq 1 $ である． そして $ t=-\dfrac{x}{y} $ なので，これを第2式に代入して \[ y=\dfrac{1}{t^2+1}=\dfrac{y^2}{x^2+y^2} \] $ y\ne 0 $ なので $ x^2+y^2=y $ となる． つまり， $ z $ の軌跡は \[ x^2+\left(y-\dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4} ,\ \quad \left(\dfrac{1}{2}\leqq y \leqq 1 \right) \] である．これを図示する．
