2020年入試問題研究に戻る

横国大3番

中身の見えない2つの箱A，Bがある．箱Aには白玉と赤玉がそれぞれ2個ずつ入っており， 箱Bには白玉1個だけが入っている．このとき， $ n $ を正の整数として，次の操作 $ (*) $ を考える．

$ (*) $ はじめに，箱Aの中身をよくかきまぜて，箱Aから玉を2個取り出し，色を確認しないで， 箱Bに2個とも入れる．次に，「箱Bの中身をよくかきまぜて， 箱Bら玉を1個取り出し，色を確認した後，箱Bに戻す｣という作業を $ n $ 回繰り返す．

操作 $ (*) $ を一度行なったとき，箱Bから取り出した玉が， $ n $ 回ともすべて白玉である確率を $ p_n $ とし， 箱Bから取り出した玉が， $ n $ 回ともすべて白玉であるという条件のもとで， はじめに箱Aから取り出した玉が2個とも白玉である条件付き確率を $ q_n $ とする．
次の問いに答えよ．

(1)　 $ p_2 $ ， $ q_2 $ を求めよ．
(2)　 $ p_n $ ， $ q_n $ をを求めよ．
(3)　 $ q_n>\dfrac{1}{2} $ をみたす最小の $ n $ の値を求めよ．

解答