2020年入試問題研究に戻る横国大3番解答
(2) \[ \begin{array}{ll} 箱\mathrm{A}から赤球2個を箱\mathrm{B}に入れ，\mathrm{B}からはn回とも白球となる確率: &\dfrac{1}{{}_4 \mathrm{C}_2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n\\ 箱\mathrm{A}から赤球1個白球1個を箱\mathrm{B}に入れ，\mathrm{B}からはn回とも白球となる確率: &\dfrac{2^2}{{}_4 \mathrm{C}_2}\left(\dfrac{2}{3} \right)^n\\ 箱\mathrm{A}からシロ球2個を箱\mathrm{B}に入れ，\mathrm{B}からはn回とも白球となる確率: &\dfrac{1}{{}_4 \mathrm{C}_2} \end{array} \] 全事象はこれらに分けられ，互いに排反である． よって， \[ p_n =\dfrac{1}{6}\left\{\left(\dfrac{1}{3} \right)^n+4\cdot\left(\dfrac{2}{3} \right)^n +1\right\} =\dfrac{1+2^{n+2}+3^n}{2\cdot 3^{n+1}} \] はじめに箱Aから取り出した玉が2個とも白玉である確率は $ \dfrac{1}{{}_4 \mathrm{C}_2} $ なので， 条件付き確率の定義から \[ q_n=\dfrac{\dfrac{1}{{}_4 \mathrm{C}_2}}{p_n}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3} \right)^n+4\cdot\left(\dfrac{2}{3} \right)^n +1} =\dfrac{3^n}{1+2^{n+2}+3^n} \] である．
(1) これから \[ p_2=\dfrac{13}{27},\ q_2=\dfrac{9}{26} \] である．
(3) 条件 $ q_n>\dfrac{1}{2} $ は， \[ 1>\dfrac{1}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{3} \right)^n+4\cdot\left(\dfrac{2}{3} \right)^n +1 \right\} \] となり，これから \[ 3^n>1+2^{n+2} \] となる． \[ (n,\ 3^n,\ 1+2^{n+2}): (1,\ 3，9),\ (2,\ 9，17),\ (3,\ 27，33),\ (4,\ 81，65),\ \] より，条件を満たす最小の $ n $ は $ n=4 $ である．