2021年入試問題研究に戻る奈良医大（後）2番
正の実数 $ a,\ b,\ c,\ d $ は以下の条件をみたすとする．
$ ● ad-bc\ne 0 $
このとき，2次方程式 $ cx^2+(d-a)x-b=0 $ は相異なる2個の実数解 $ \alpha, \beta $ $ (ただし\alpha>\beta) $ を持つ．また，任意の正の実数 $ u>0 $ に対して，数列 $ \{x_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots} $ を以下の漸化式で定める． \[ x_1=u,\ \quad x_{n+1}=\dfrac{ax_n+b}{cx_n+d}\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(1) $ a-c\beta\ne 0 $ を証明せよ．
(2) 任意の正整数 $ n $ について， $ x_n\ne \beta $ であり，かつ，任意の正整数 $ n $ に対して， \[ y_n=\dfrac{x_n-\alpha}{x_n-\beta} \] とおくと，数列 $ \{y_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots} $ は等比数列になることを証明せよ．
(3) 任意の正の実数 $ u $ に対して，数列 $ \{x_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots} $ は $ n\to \infty $ のとき収束することを示し，その極限値を求めよ．