2021年入試問題研究に戻る奈良医大（後）2番解答
(1) 解と係数の関係から \[ \alpha+\beta=-\dfrac{d-a}{c},\ \quad \alpha\beta=\dfrac{-b}{c} \] なので， $ \alpha\beta< 0 $ である．よって $ \alpha >0 >\beta $ となり，これから \[ a-c\beta >0 \] である．
(2) $ x_1 >0 $ で，漸化式から $ x_n >0 $ なら $ x_{n+1} >0 $ ．よって $ x_n >0 >\beta $ となる． \begin{eqnarray*} y_{n+1}&=&\dfrac{x_{n+1}-\alpha}{x_{n+1}-\beta}= \dfrac{\dfrac{ax_n+n}{cx_n+r}-\alpha}{\dfrac{ax_n+n}{cx_n+r}-\beta} =\dfrac{(a-c\alpha)x_n+b-d\alpha}{(a-c\beta)x_n+b-d\beta}\\ &=&\dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta}\cdot \dfrac{x_n+\dfrac{b-d\alpha}{a-c\alpha}}{x_n+\dfrac{b-d\beta}{a-c\beta}} \end{eqnarray*} ここで， $ \beta $ は2次方程式 $ cx^2+(d-a)x-b=0 $ の解なので， $ c\beta^2+(d-a)\beta-b=0 $ ．これより， \[ (c\beta-a)\beta+d\beta-b=0 \] なので， $ \dfrac{b-d\beta}{a-c\beta}=-\beta $ ． $ \alpha $ についても同様に $ \dfrac{b-d\alpha}{a-c\alpha}=-\alpha $ である．よって， \[ y_{n+1}=\dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta}\cdot \dfrac{x_n-\alpha}{x_n-\beta} =\dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta}\cdot y_n \] となり，数列 $ \{y_n\} $ は公比 $ \dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta} $ の等比数列になる．
(3) (2)から \[ y_n=\left(\dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta} \right)^{n-1}y_1 \] ここで， $ a-c\alpha< a-c\beta $ であるが， \begin{eqnarray*} a-c\alpha-\{-a+c\beta\}&=&2a-c(\alpha+\beta)\\ &=&2a-c\left(-\dfrac{d-a}{c}\right)=a+d > 0 \end{eqnarray*} なので， \[ -a+c\beta< a-c\alpha< a-c\beta \] となり， \[ -1< \dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta}< 1 \] である．よって \[ \lim_{n \to \infty}y_n=0 \] これから \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{x_n-\alpha}{x_n-\beta}=0 \] なので， \[ \lim_{n \to \infty}x_n=\alpha \] である．