2021年入試問題研究に戻る奈良医大（後）3番解答
(1) $ d_1=(m+n,\ n) $ ， $ d_2=(m,\ n) $ とおく．
$ m+n=d_1\alpha $ ， $ n=d_1\beta $ とすると， $ m=d_1(\alpha-\beta) $ となり， $ d_1 $ は $ m $ と $ n $ の公約数である． $ d_2 $ は $ m $ と $ n $ の最大公約数なので， $ d_1\leqq d_2 $ である．
$ m=d_2\gamma $ ， $ n=d_2\delta $ とすると． $ m+n=d_2(\gamma+\delta) $ となり， $ d_2 $ は $ m+n $ と $ n $ の公約数である． $ d_1 $ は $ m+n $ と $ n $ の最大公約数なので， $ d_2\leqq d_1 $ である．
これより $ d_1=d_2 $ が示された．(2) 二項係数 $ {}_n \mathrm{C}_k $ を \[ (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{}_n \mathrm{C}_k x^k \quad \cdots① \] で定義する． $ {}_n \mathrm{C}_k $ は $ (1+x)^n $ の展開において1を $ n-k $ 個， $ x $ を $ k $ 個並べる順列の総数なので， 整数であり， $ {}_n \mathrm{C}_k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} $ となる．
$ ① $ の両辺を $ x $ で微分して， \[ n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^nk{}_n \mathrm{C}_k x^{k-1} \quad \cdots② \] である．よって $ k\geqq 1 $ のとき $ ② $ の $ x^{k-1} $ の係数を比較して，次の等式がなり立つ． \[ n{}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}=k{}_n \mathrm{C}_k \] したがって，この $ n $ と $ k $ を $ m+n $ と $ n $ で用いることにより，正整数 $ m,\ n $ に対して \[ (m+n){}_{m+n-1} \mathrm{C}_{n-1}=n{}_{m+n} \mathrm{C}_m \] である． (1)から正整数 $ m $ と $ n $ が互いに素なとき， $ n $ と $ m+n $ が互いに素なので， $ {}_{m+n-1} \mathrm{C}_{n-1} $ は $ n $ の倍数である． $ {}_{m+n-1} \mathrm{C}_{n-1}=nN $ とおくと， \[ \dfrac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}=nN \] である．したがって \[ \dfrac{(m+n-1)!}{m!n!}=N \] となり， $ (m+n-1)! $ は $ m!n! $ によって割り切れることが示された．