2021年入試問題研究に戻る広大後期理系3番
以下の問いに答えよ．
(1) $ a $ と $ b $ を互いに素な自然数とし，自然数 $ n $ に対し $ \dfrac{1}{n+1}< \dfrac{b}{a}<\dfrac{1}{n} $ が成り立つとする．互いに素な自然数 $ c $ ， $ d $ により \[ \dfrac{b}{a}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{d}{c} \] と表すとき， $ d< b $ となることを示せ．
(2) $ S $ を0より大きく1より小さい有理数とする．このとき， $ S $ は異なる自然数 $ n_1 $ ， $ n_2 $ ， $ \cdots $ ， $ n_l $ の逆数の和として \[ S=\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}+\cdots+\dfrac{1}{n_l}\quad (1< n_1< n_2< \cdots< n_l) \] と表すことができることを示せ．