2021年入試問題研究に戻る広大後期理系3番解答
(1) $ \dfrac{b}{a}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{b(n+1)-a}{a(n+1)}=\dfrac{d}{c} $ である． よって， $ \dfrac{b(n+1)-a}{a(n+1)} $ が既約なら $ b(n+1)-a=d $ となり， 可約なら $ b(n+1)-a>d $ となる．また $ \dfrac{b}{a}<\dfrac{1}{n} $ より $ bn-a< 0 $ である． あわせて \[ d \leqq b(n+1)-a< b \] となる．
(2) $ S=\dfrac{b}{a} $ とおく．
$ S=\dfrac{1}{2} $ なら $ l=1 $ ， $ n_1=2 $ で成立する．
$ \dfrac{1}{2}< S< 1 $ なら $ 0< S-\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{2} $ である．
従って $ 0< S< \dfrac{1}{2} $ のとき(2)が成立すれば， $ \dfrac{1}{2}< S< 1 $ のとき， \[ S-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n_2}+\dfrac{1}{n_2}+\cdots+\dfrac{1}{n_l} \] と表せる． $ n_1=2 $ とすることで，成立する．
よって， $ 0< S< \dfrac{1}{2} $ のとき成立することを示せばよい．以下， $ 0< S< \dfrac{1}{2} $ とする．
$ b=1 $ なら $ n_1=a $ とすることで， $ 1$ b\geqq 2 $ とする． $ \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{b}{a}<\dfrac{1}{n} $ となる $ n $ をとると， $ n\geqq 2 $ である．
$ n_1=n+1 $ とおく． $ \dfrac{1}{n_1}<\dfrac{b}{a}<\dfrac{1}{n_1-1} $ である． \[ \dfrac{b}{a}-\dfrac{1}{n_1}=\dfrac{d}{c} \] とすると，(1)から $ b>d $ であり， \[ 0<\dfrac{b}{a}-\dfrac{1}{n_1}=\dfrac{d}{c} <\dfrac{1}{n_1-1}-\dfrac{1}{n_1}=\dfrac{1}{n_1(n_1-1)} <\dfrac{1}{n_1}<\dfrac{b}{a} \] となる．
この $ \dfrac{d}{c} $ に対して， $ \dfrac{b}{a} $ のときと同じ操作をくりかえす． \[ \dfrac{d}{c}-\dfrac{1}{n_2}=\dfrac{f}{e} \] とすると， $ d>f>0 $ である． このとき， \[ \dfrac{1}{n_2}<\dfrac{f}{e}+\dfrac{1}{n_2}=\dfrac{d}{c}<\dfrac{1}{n_1} \] より， $ n_1< n_2 $ である．
よって，この操作をくりかえすと $ 1\leqq l \leqq d $ のある $ l $ で \[ \dfrac{b}{a}-\dfrac{1}{n_1}-\dfrac{1}{n_2}-\cdots-\dfrac{1}{n_{l-1}}=\dfrac{1}{n_l} \] となり， $ 1< n_1< n_2< \cdots< n_l $ をみたす．
※ 有理数をいくつかの異なる単位分数（分子が 1 の分数）の和に表したものをエジプト分数という． 本問から，1より小さい正の有理数はエジプト分数に表すことができることがわかる．
青空学園数学科の 「単位分数のエジプト分数による下からの近似」 を参照．