2021年入試問題研究に戻る京大理系6番解答
問1 $ n $ が合成数であるとし， $ p,\ q\geqq 2 $ である整数で $ n=pq $ と分解されるとする． このとき， \begin{eqnarray*} 3^n-2^n&=&(3^p)^q-(2^p)^q\\ &=&(3^p-2^p)\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}(2^p)+\cdots+(2^p)^{q-1}\} \end{eqnarray*} $ p,\ q\geqq 2 $ より \[ (3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}(2^p)+\cdots+(2^p)^{q-1}\geqq 3^p+2^p\geqq 3^2+2^2=13 \] したがって $ 3^n-2^n $ は素数でない．
対偶をとって， $ 3^n-2^n $ が素数ならば $ n $ も素数である．問2 $ f(x) $ は区間 $ [1,\ a] $ を含む区間で定義されているものとする． 条件より， $ \dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{f(1)}{1} $ である． $ g(x)=\dfrac{f(x)}{x} $ とおく． $ g(x) $ は $ g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2} $ と微分可能である．
$ g(a)-g(1)=0 $ であるから，平均値の定理から \[ 0=\dfrac{g(a)-g(1)}{a-1}=g'(c)=\dfrac{cf'(c)-f(c)}{c^2} \] となる $ c $ が $ 1< c< a $ に存在する．
点 $ (c,f(c)) $ における $ y=f(x) $ の接線は \[ y=f'(c)(x-c)+f(c)=f'(c)x-\{cf'(c)-f(c)\}=f'(c)x \] となり，原点を通る．