2021年入試問題研究に戻る

京大特色4番

$ C $ を1以上の実数， $ \{a_n\} $ を0以上の整数からなる数列で $ a_l=0,\ a_2=1 $ を満たすとする． $ xy $ 平面上の点 $ \mathrm{A}_n=(a_n,\ a_{n+1}) $ はすべての $ n=1,\ 2,\ ,3,\ \cdots $ にてついて次の条件 (i)，(ii)，(iii)を満たすとする．

(i) 3点 $ \mathrm{A}_n $ ， $ \mathrm{O} $ ， $ \mathrm{A}_{n+1} $ は同一直線上になく， 三角形 $ \mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1} $ と三角形 $ \mathrm{A}_{n+1}\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+2} $ の内部は互いに交わらない．
(ii) 三角形 $ \mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1} $ の面積は $ C $ より小さい．
(iii) $ \angle \mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1}<\dfrac{\pi}{4} $ かつ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\angle \mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1}=\dfrac{\pi}{4} $ である．

ここで $ \mathrm{O} $ は $ xy $ 平面の原点を表す．以下の設問に答えよ．

(1) $ C=100 $ のとき，(i)，(ii)，(iii)を満たす数列 $ \{a_n\} $ の例を1つ与えよ．

(2) 2以上の自然数 $ n $ , $ m $ が $ n< m $ を満たすとき， \[ 0<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac{a_{m+1}}{a_m} \leqq 2C\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_m} \right) \] となることを示せ．

(3) ある実数 $ D $ が存在して，すべての自然数 $ n $ について $ a_{n+1}-a_n\leqq D $ となることを云せ．

(4) ある自然数 $ n_0 $ が存在して， 点 $ \mathrm{A}_{n_0},\ \mathrm{A}_{n_0+1},\ \mathrm{A}_{n_0+2},\ \cdots $ はすべて同一直線上にあることを示せ.

解答