2021年入試問題研究に戻る京大特色4番解答
(1) $ a_n=n-1 $ とし， $ xy $ 平面上の直線 $ y=x+1 $ の上にある点列 $ \mathrm{A}_n(n-1,\ n) $ を考える． 条件(i)と条件(iii)が満たされることは明らかである， また，一般に3点 $ \mathrm{O} $ ， $ (x_1,\ y_1) $ ， $ (x_2,\ y_2) $ でできる三角形の面積は $ \dfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1 \right| $ なので， 三角形 $ \mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1} $ の面積は， \[ \dfrac{1}{2}\left|(n+1)(n-1)-n^2 \right|=\dfrac{1}{2} \] である．よって，この数列は条件(ii)も満たす． 数列 $ a_n=n-1 $ は3条件を満たす．
(2) 条件(iii)から $ x $ 軸と $ \mathrm{OA}_{n+1} $ のなす角は $ \dfrac{\pi}{4} $ より大きく， $ n\geqq 2 $ のとき直線 $ \mathrm{OA}_n $ の傾きは1より大きい．つまり $ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} >1 $ である． $ k\geqq 2 $ とする．条件(i)から直線 $ \mathrm{OA}_k $ の傾きは単調に減少する． よって， \[ \dfrac{a_{k+1}}{a_k}-\dfrac{a_{k+2}}{a_{k+1}} >0 \] である．またこれから， $ {a_{k+1}}^2-a_ka_{k+2} >0 $ である． 三角形 $ \mathrm{A}_k\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+1} $ の面積は \[ \dfrac{1}{2}\left|{a_{k+1}}^2-a_ka_{k+2}\right|=\dfrac{1}{2}\left({a_{k+1}}^2-a_ka_{k+2}\right) \] であるので，条件(ii)から \[ {a_{k+1}}^2-a_ka_{k+2}< 2C \] となる． $ a_{k+1}-a_k >1 $ なので， \begin{eqnarray*} \dfrac{a_{k+1}}{a_k}-\dfrac{a_{k+2}}{a_{k+1}}&< &2C\left( \dfrac{1}{a_ka_{k+1}}\right)\\ &=&2C\left(\dfrac{1}{a_k}- \dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\cdot\dfrac{1}{a_{k+1}-a_k}\\ &< &2C\left(\dfrac{1}{a_k}- \dfrac{1}{a_{k+1}}\right) \end{eqnarray*} これを $ k=n $ から $ k=m-1 $ まで加えて， \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac{a_{m+1}}{a_m} < 2C\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_m} \right) \] を得る． 以上から(2)の不等式が示された．
(3) (2)から $ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac{a_{m+1}}{a_m} < 2C\left(\dfrac{1}{a_n}\right) $ が得られるので， \[ a_{n+1}-a_n< \left(\dfrac{a_{m+1}}{a_m}-1\right)a_n+2C \] $ m\to \infty $ のとき $ \dfrac{a_{m+1}}{a_m}\to 1 $ なので， \[ a_{n+1}-a_n\leqq 2C \] つまり， $ D=2C $ にとればよい．
(4) $ 0< {a_{n+1}}^{2}-a_{n}a_{n+2}< 2C $ より \begin{eqnarray*} &&{a_{n+1}}^{2}-a_na_{n+1}-2C< a_{n}\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)\\ &\iff&\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-\dfrac{2C}{a_{n}(a_{n+1}-a_{n})}< \dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}\\ &&a_{n}a_{n+2}-a_na_{n+1}< {a_{n+1}}^{2}-a_na_{n+1}\\ &\iff&\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}< \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \end{eqnarray*} つまり， \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-\dfrac{2C}{a_{n}(a_{n+1}-a_{n})}< \dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}< \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \] である．条件(iii)から $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1 $ である． よって， \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}=1 \] となる．ところが(3)から $ a_{n+1}-a_n $ のとりうる値は有限個であり， $ \dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}} $ のとりうる値も有限個である． 任意の $ \epsilon $ に対して，ある自然数 $ n_0 $ が存在して， $ n_0\leqq n $ の $ n $ に対しては \[ \left|\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}-1 \right|< \epsilon \] となる．有限性から， \[ \dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}=1 \] となるように $ \epsilon $ をとることができる．つまり直線 $ \mathrm{A}_{n_0}\mathrm{A}_{n_0+1} $ の傾きと $ \mathrm{A}_{n_0+1}\mathrm{A}_{n_0+2} $ の傾き， $ \mathrm{A}_{n_0+2}\mathrm{A}_{n_0+2} $ の傾き，…がすべて等しくなる． よって， 点 $ \mathrm{A}_{n_0},\ \mathrm{A}_{n_0+1},\ \mathrm{A}_{n_0+2},\ \cdots $ はすべて同一直線上にある.