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京大特色総人理系2番解答
$ f(x)=x^3-nx-p $ とおく．
3次方程式 $ f(x)=0 $ が有理数の解をもつとする．それを
$ x=\dfrac{b}{a}\ \left(a>0,\ b\ は互いに素な整数\right) $ とおく．
\[
\left(\dfrac{b}{a} \right)^3-n\left(\dfrac{b}{a} \right)-p=0
\]
これより
\[
\dfrac{b^3}{a}=nab+pa^2
\]
右辺は整数で， $ a $ と $ b^3 $ も互いに素なので， $ a=1 $ である．この結果
\[
b^3-nb=b(b^2-n)=p
\]
となり， $ b $ は $ p $ の約数，つまり $1,\ -1,\ p,\ -p $のいずれかである．
\[
\begin{array}{ll}
b=1のとき&1-n=pよりn=-p+1\\
b=-1のとき&-1+n=pよりn=p+1\\
b=pのとき&p^3-np=pよりn=p^2-1\\
b=-pのとき&-p^3+np=pよりn=p^2+1
\end{array}
\]
このうち，条件 $ 1\leqq n\leqq p+1 $ と矛楯しないのは，
$ b=-1 $ で $ n=p+1 $ のときである．
このとき，
\[
f(x)=x^3-(p+1)x-p=(x+1)(x^2-x-p)
\]
となり，方程式$f(x)=0$の解は
\[
-1,\ \dfrac{1\pm\sqrt{1+4p}}{2}
\]
である．
ここで，$\sqrt{1+4p}$が有理数であるとあるとし，
\[
\sqrt{1+4p}=\dfrac{k}{l}\ (l,\ k\ は互いに素)
\]
とおく．これより，
\[
1+4p=\dfrac{k^2}{l^2}\ (l,\ k\ は互いに素)
\]
で，$l^2,\ k^2$も互いに素であるが，
$1+4p$が整数なので，$l^2=1$．
よって，このとき，$1+4p=k^2$となる．
さらに，$1+4p$が奇数なので$k$は奇数である．
$k=2m-1$とおく．
\[
1+4p=(2m-1)^2=4m^2-4m+1
\]
つまり，
\[
p=m^2-m=m(m-1)
\]
$p$が素数なので，
\[
(m,\ m-1)=(2,\ 1),\ (-1,\ -2)
\]
のいずれかで，$p=2$，$k=3$である．
以上から
\[
\begin{array}{l}
p=2,\ n=3のとき，有理数解 3 個\ (2重解x=-1と2)\\
p\geqq 3,\ n=p+1のとき，有理数解1個，無理数解 2 個\\
その他の時，実数解をもてば，それは無理数である
\end{array}
\]
したがって$n=p+1$のとき，3次方程式$f(x)=0$の解は，整数解が$x=-1$と無理数解2個である．
$ n < p+1 $ とする．
このとき，実数解はすべて無理数解である．
$f'(x)=3x^2-n$より，関数$f(x)$は$x=\pm \sqrt{\dfrac{n}{3}}$で極となる．
\[
f\left(\pm \sqrt{\dfrac{n}{3}} \right)
=\mp\dfrac{2n}{3}\sqrt{\dfrac{n}{3}}-p
\]
よって，
\begin{eqnarray*}
f\left(\sqrt{\dfrac{n}{3}} \right)f\left(-\sqrt{\dfrac{n}{3}} \right)
&=&p^2-\dfrac{4n^3}{27}=4\left(\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}\right)
\end{eqnarray*}
である．
ここで，
\[
4(p+1)^3-27p^2=(p-2)^2(4p+1)
\]
より，$p>2$のとき$4(p+1)^3-27p^2>0$で，$p=2$のとき$4(p+1)^3-27p^2=0$である．
よって，
\[
p+1\geqq \sqrt[3]{\dfrac{27p^2}{4}}=3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}
\]
従って，
条件$n < p+1$と条件$n < 3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}$では，後者の方が強い．
よって，
i) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}>0$，つまり，$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}>n$のとき，1個．
ii) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}=0$，つまり，$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}=n$のとき，2個．
iii) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}<0$，つまり，$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}} < n $ のとき，3個．
である．
問題