2022年入試問題研究に戻る信州大理系7番解答
i) 条件 $ p $ ならば条件 $ q $ であることを示す． \begin{eqnarray*} &&{a_{n+2}}^2-a_{n+3}a_{n+1}\\ &=&{a_{n+2}}^2-\left(a_{n+2}+a_{n+1} \right)a_{n+1}\\ &=&a_{n+2}\left(a_{n+2}-a_{n+1} \right)-{a_{n+1}}^2\\ &=&a_{n+2}a_n-{a_{n+1}}^2\\ &=&-\left({a_{n+1}}^2-a_{n+2}a_n\right) \end{eqnarray*} より， 数列 $ \{{a_{n+1}}^2-a_{n+2}a_n\} $ は公比 $ -1 $ の等比数列である．よって， \begin{eqnarray*} {a_{n+1}}^2-a_{n+2}a_n&=&(-1)^{n-1}\left({a_{2}}^2-a_{3}a_1 \right)\\ &=&(-1)^n \end{eqnarray*} が成り立つ．
ii) 条件 $ q $ ならば条件 $ p $ であることを示す． \[ {a_{n+1}}^2-a_{n+2}a_{n}+{a_{n+2}}^2-a_{n+3}a_{n+1}=(-1)^n+(-1)^{n+1}=0 \] なので， \[ a_{n+2}\left(a_{n+2}-a_n \right)= a_{n+1}\left(a_{n+3}-a_{n+1} \right) \] が成り立つ．
これを用いて， \[ 1 \leqq a_n< a_{n+2} \] が成り立つことを数学的帰納法で示す． \[ a_2-a_3a_1=(-1)^{-1}=-1 \] において， $ a_1=1,\ a_2=1 $ より $ a_3=2 $ となり， $ n=1 $ で成立する． $ 1,\ 2,\ \cdots,\ n $ で成立すれば， $ 0< a_{n+3}-a_{n+1} $ ，つまり， $ 1\leqq a_{n+1}< a_{n+3} $ となり， $ n+1 $ で成立する． よって，すべての $ n $ で $ 1 \leqq a_n< a_{n+2} $ となり，特にすべての $ n $ で $ a_n\ne0 $ である．
これから \[ \dfrac{a_{n+2}-a_n}{a_{n+1}}= \dfrac{a_{n+3}-a_{n+1}}{a_{n+2}} \] が成立し， \[ \dfrac{a_{n+2}-a_n}{a_{n+1}}= \dfrac{a_3-a_1}{a_2}=1 \] となる．これより， \[ a_{n+2}-a_n=a_{n+1} \] となり，条件 $ p $ となる．