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09年

$\mathrm{P}$ $\mathrm{A}',\ \mathrm{B}',\ \mathrm{C}'$が題意のように定まっている 前提のもとで次の二条件の同値性を示す.

条件甲:A,B,C, $\mathrm{A}',\ \mathrm{B}',\ \mathrm{C}'$が同一円周上にある.

条件乙:Pが $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{I}$と一致する.

(1)甲ならば乙を示す.

 
     $\mathrm{A'B}=\mathrm{A'C}$より$\mathrm{A}'$は弧$\mathrm{BC}$の中点. 円周角の相等より $\angle \mathrm{A'AB}=\angle \mathrm{A'AC}$. つまり直線$\mathrm{AA'}$は角$A$の二等分線である. 従って内心$\mathrm{I}$$\mathrm{AA'}$上にある. 他についても同様なので,三直線 $\mathrm{AA'},\ \mathrm{BB'},\ \mathrm{CC'}$は 内心$\mathrm{I}$で交わる.

     $\angle \mathrm{CIA'}=\angle \mathrm{IAC}+\angle \mathrm{ICA},\
\angle \mathrm{ICA'}=\angle \mathrm{ICB}+\angle \mathrm{BCA'}$ である.

    ここで 角の二等分より $\angle \mathrm{ICA}=\angle \mathrm{ICB}$. 円周角の相等によって $\angle \mathrm{BCA'}=\angle \mathrm{BAA'}=\angle \mathrm{IAC}$. これから $\angle \mathrm{CIA'}=\angle \mathrm{ICA'}$が結論される.

    この結果 $\mathrm{A'I}=\mathrm{A'C}$となり,内心$\mathrm{I}$$\mathrm{A}'$を中心とし $\mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る円周上にある.点$\mathrm{P}$も同じ円周上にある. $\mathrm{B'},\ \mathrm{C'}$についても同様に成り立つ.


三点 $\mathrm{A}',\ \mathrm{B}',\ \mathrm{C}'$ を中心とする三円上に$\mathrm{I}$$\mathrm{P}$の両点がある. これら三円の中心が一直線上に来ることはない. よって三円が共有する点は一点しかない. つまり $\mathrm{P}=\mathrm{I}$である.

(2)乙ならば甲を示す.


     $\angle \mathrm{A}$の二等分線と $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外接円の交点を     $\mathrm{A}''$とする. 点$\mathrm{P}$は内心なので,(1)と同様にして, $\mathrm{PA''}=\mathrm{BA''}=\mathrm{CA''}$である.

    つまり$\mathrm{A}''$は三点 $\mathrm{P},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ から等距離にある.点$\mathrm{A}'$も等距離にある. 同一直線上にない三点から等距離にある点は一つなので $\mathrm{A}'=\mathrm{A}''$である.つまり $\mathrm{A}'$ $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外接円上にある. 他も同様である.


 

 


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