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そこで，分数計算ができるという生徒に聞いてみた．「分数の積が，分母と分母，分子と分子をかければよいのはなぜか．理由が説明できるか．」彼らも計算方法を知っているだけで，それには答えられなかった．そこで私は，いわゆる水道方式に依って，分数の定義にたち返って，そこから四則計算の原理と方法に入った．
皆はじめての話ばかりで，よく聞いてわかってくれた．わかってにっこりした顔が忘れられない．はじめてクラスとしての授業ができた．教えることについて実に多くのことを学んだ．10年ほど前，卒業以来28年ぶりにその頃の教え子に再会した．すぐ昔の話になり「高校でもう一度分数を習うとは思っていなかったが，面白かった」など，よく昔のことを覚えていてくれた．
「ああ，そうか」という経験を通して，その人自身が変化する．それが人間の知るという営みであり、そこに喜びがある．まさに体でわかるという経験である．この経験を得る場こそ，授業の場である．人間というのは，わかるとうれしいし，この喜びは人間の本質的な喜びである．それが「学問としての高校数学」を生きた学問にする．「理解はできるが，納得できない」段階からの飛躍である．
「分数のできない大学生」という報告はよくあるが，問題はそこで教員が何をしたかである．その報告は少ない．私自身は，試行錯誤を経て，授業というのはこの喜びを体験する場なのだということを経験した．そしてまた指導方法としての数学教育の難しさと醍醐味，これを実地に経験した．
高校教員になって半年後のこの経験は，その後他のところで教えるようになっても生きている．問題を正しくつかみ，自分で考え，「わかって，にっこり」できる授業，これを指針にやってきた．それが学問としての高校数学である．これはまた，大学の基礎科目の講義についても言えることではないだろうか．
数学も同じである．ところが数学をやらずに問題が解けるようになりたいと考え違いをしている人が多い．勉強の基本は自分で考えることである．
これを内因論の態度という．それに対して，すぐに例題に頼ったり，まだ習っていないからできないと放置したり，こういう態度を外因論という．内因論が身についている人は，確実に力が伸びる．
教科書を鵜呑みにするのではなく，定義や命題を自分で再確認し，どの定義が基礎であり，そこからどのように定理や命題が導かれるのか，自分で再確認しよう．
これを自分で乗り越えよ．手で書いて考えると，書いている自分を見つめるもう一人の自分がそこに現れ，問題を立体的に考えることができる．そして，無意識に蓄えられてきたことを意識の場に引き出すことが出来る．
問題を考えるという一連の作業の中で，「分からない」は終着点ではなく，そこが出発点なのだ．そう心得て，分からなくても，そこであきらめずにもう5分，10分考えてみる．
そうではなく，授業中も自分で考え続ける．それも手で考える．そしてわかったことをノートしていく．
そこでどのようにするかが大切だ．自分の予習ノートに×を入れてそのままにする人が多い．模範解答を見てなるほどと思い，それで自分の方法を捨ててしまう人がいる．しかしそれでは問題演習をする意味がない．自分の方法は，
1) 不可能ではないが，複雑で，その結果まちがっていたり，途中で止まった．2) 問題をとらえきれず，この問題を解くことはできない．
このいずれかである．どちらなのか確認しなければならない．わからなければ質問せよ．そして間違いを掘り下げて解明し，ノートせよ．
これらのことは，言うだけでは伝わらない．まず教員自身が実践していること．これが前提である．教員自身が数学していなければならない．そのうえで，授業を通してこのような勉強態度を納得させることができるか，教員の技倆が問われる．生徒の前で，少ない原理から問題を解いてみせることなど，言うは易く為すは難しである．
学問としての数学に対する基本的な態度は，大学初年級においても重要であり，これをそれぞれの学生に任せるのではなく，目的意識的に伝え実践させなければならない．そうすれば高校生にも伝わる．次のような意見も寄せられた．
数学は，講師の方がおっしゃったとおり「分からなくてももう5分」考えているうちに数時間が経っていることもありました．それでも解けないことも多々あって，友達には「時間がもったいない」と言われましたが，自分で試行錯誤することにより，解説を聞いたときの理解が深まり，また「ここまでは解けた」と自信にも繋がりました．
これは事実に裏づけられた言葉であり，私が言うよりも説得力がある．ぞうきんを絞ってもう一滴も出ないと思っても，もう一度力をこめて絞れば，さらに一滴は絞り出せる．このように，縁あって出会った生徒には，小手先の方法に頼るな．自分で考えろ，これを伝えてきた．
こうして私は高校と塾という二つの現実の場で高校生に数学を教えてきた．それらの仕事をしていた時間はあわせてかれこれ30年になる．そして自分で作りだした青空学園数学科という仮想学園の場で，自分の考えにもとづいて高校数学を述べてきた．ときどきこんなメールも来るので，これも教育活動といえるかも知れない．
現在、先生の書かれた「高校数学の方法」を使って勉強している者です。最終学歴が中卒と言うこともあり数学がかなり苦手だったのですが、先生のテキストをコツコツやっていくにつれて苦手意識も薄れてきて、先日行われた駿台の京大実践模試の数学においては５完でした。ただ、テキストを何度も繰り返してやりすぎて、問題をほぼすべて覚えてしまい、次にどんな問題集を選ぼうかで悩んでいます。
周りに相談できる知人もなく、困り果ててメールを送らせていただきました。問題集およびその使い方についてアドバイスしていただけませんでしょうか。大変お忙しいとは思いますが、なにとぞよろしくお願いいたします。
仮想学園でのやり取りであるから顔は見えない．しかしこれに答えることもまた，大きな意味での教育の営みだろう．「高校数学の方法」を問題を覚えるくらいくりかえし勉強し，力をつけてくれたことは嬉しい．きっと中学校でいろいろあって高校に行けなかったのだ．あるいは高校が続けられなかったのだ．
それが，ここで学ぶことで数学への自信がつき，次の問題集を聞いてくる．生き直すきっかけをつかんだ．数学が生きる力となっている．さらに，こうして「方法」という問題意識が広がる．それが数学が根づくということではないだろうか．
わかる前の苦しさを，かつてのわかったという経験を導きに，乗りこえる．一人一人にこの経験をさせること，これが授業であり講義でなければならない．そのためには，授業では，何が問題であるのかをいっしょに考え，問題をつかませる．これを重視する．人間は本当に問題がつかめたら，自分で考える．そのように導き，自分で飛躍するようにしむける．
どこまで語りどこで飛躍させるのか，その兼ねあいが難しい．これができるためには，生徒や学生がどこまでわかっているか，本人以上に教える側がつかめていなければならない．このようなことを考え，試行錯誤をしながら，教えてきた．大学生になって2年目，教育学部の2回生なった学生がその6月に次のような感想を寄せてくれた．
夏期と冬期で授業を受けたものです．先生の授業はとてもおもしろく，別解などをされたときは思わず顔がにやけたりしてしまいました(笑)．先生のところに通って本当によかったと今も思います．友人と話していても，塾が苦痛だった人が結構いますが，私は毎週通うのがとても楽しみでした．おかげで数学も好きになれたし，…．
何気ないことではあるが，このような事例の中に「わかる喜びの継承」がある．教育学の勉強をはじめて，高校3年のときの自分を思い出したのだろう．教育学部のこの学生は，もし将来教壇に立てば，自分の経験がどこかで生きるだろう．これがわかる喜びの継承ということであり，数学文化の基盤をなすことである．
高校生には，このように，学問として正面から勉強し，わかる喜びを知ることが，結局は力をつけるいちばんの道であることも，強調してきた．大学生が高校生化しているといわれる中で，大学教育においても大切なことではないかと思う．
数学を先生におしえていただいて本当に良かったと感謝しています。
いつも先生は数学を心から愛していらっしゃるのだなと感じておりましたが、数学の素晴らしさに少しふれられたような気がします。努力を重ねれば必ず報われるのが数学であり、勉強であるのだなと改めて実感しました。これからさらなる努力を重ね、立派な医者になりたいと思います。
2013年春のこのメールはこの生徒自身の感受性の深さを表している．このように，自分で考え，自分でわかり，にっこりする．こういう教育が当たり前になること，それが数学が人々の間に定着することではないだろうか．2014年春には次のような報告がサイトの掲示板に寄せられた．
自宅浪人の末，京大文学部に合格した者です．青空学園の「高校数学の方法」，「整数の基本」，「確率の基本」を勉強させていただきました．どの本も難しく，完璧には消化しきれなかったです．しかし，学校では聞いたことのない「方法」という観点などから，数学の奥深さや論理の大切さを感じられたように思います．現役の時は0完だった二次試験も今年はほぼ3完することができました．
また，「勉強のすすめ」からも力をいただきました．たとえば「内因論」，たとえば「分からない，からあと5分」．うまくいかないときや，自分のこれからについて独りで考えるとき、この言葉に助けられました．数学は，いまだに僕にとっては難しいものですが，この一年間取り組んでみて，数学の問題の解き方だけではなく，様々なことを考えることができました．これからも，多くの困難があっても，しっかりと考えながら生きていこうと思います．本当にありがとうございました．
確かに，受けとめる高校生や卒業生はいる．どこの誰かはわからなくてよい．これが文化である．数学すること，つまり定義を理解し，命題の根拠を示し，自ら考え，計算し，そしてわかる喜びを知ること．これを伝えなければならないし，それは可能である．