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パスカルの定理の特別な場合

『数学対話(一)』の「パスカルの定理」の最後に「特別な場合の演習    問題」として掲げたものです． 二次曲線，例えば「楕円に3つの接線を引く．各交点と他の接線を結ぶ3直線は1点で交わる」 を一般的に高校範囲で証明するものです．解けた人はさらに進んで「パスカルの定理」へ．

 

問題 2.1       解答2.2

1.     $\mathrm{X}=(x,\ y)$ に対し $x,\ y$ の二変数の多項式を $f(\mathrm{X})$ のように表す.

$$f(\mathrm{X})=ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c$$

を実数係数の2次式とする． $f(\mathrm{X})=0$ で2次曲線 $C$ が定まっているとする．

1. $C$ 上の点 $\mathrm{X_0}=(x_0,\ y_0)$ での $C$ の接線の方程式のうち， $x$ の係数が $ax_0+hy_0+l$ となるものを
   
   $$L(\mathrm{X},\ \mathrm{X}_0)=0$$
   
   
   とする． $L(\mathrm{X},\ \mathrm{X}_0)$ を求め
   
   $$L(\mathrm{X},\ \mathrm{X}_0)=L(\mathrm{X}_0,\ \mathrm{X})$$
   
   
   を示せ．
2. 曲線の外の点P $(p,\ q)$ から曲線に2本の接線が引けるとする． このとき，2接点を結ぶ直線 $l$ は，
   
   $$l:L(X,P)=0$$
   
   
   と書けることを示せ．
3. $l$ 上の点Qからも曲線に2本の接線が引けるとする． このとき，2接線を結ぶ直線 $m$ はPを通ることを示せ．

注 (2)の点Pと直線 $l$ を「極」「極線」とよぶ.

2.     問1を前提に次の問いに答えよ.

1. 一般に平行でない2つの直線 $F(\mathrm{X})=0$ と $G(\mathrm{X})=0$ に対し， この2直線の交点とこれらの直線上にない他の点 $\mathrm{X_0}$ を通る直線は
   
   $$G(\mathrm{X}_0)F(\mathrm{X}) - F(\mathrm{X}_0)G(\mathrm{X})=0$$
   
   
   と表されることを示せ．
2. $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ を $f(\mathrm{X})=0$ の上の3点とする． 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ での $f(\mathrm{X})=0$ の接線を $L_\mathrm{A}$, $L_\mathrm{B}$, $L_\mathrm{C}$ とし，それらが互いに交点をもつとき， $L_\mathrm{A}$ と $L_\mathrm{B}$ の交点を $\mathrm{P_{AB}}$，$L_\mathrm{B}$ と $L_\mathrm{C}$ の交点を $\mathrm{P_{BC}}$，$L_\mathrm{C}$ と $L_\mathrm{A}$ の交点を $\mathrm{P_{CA}}$ とする．

   3直線 $\mathrm{P_{AB}C}$， $\mathrm{P_{BC}A}$， $\mathrm{P_{CA}B}$ が互いに交わるならば，これらは１点で交わることを示せ．

3. さらに，$L_\mathrm{A}$ と直線 $\mathrm{BC}$，$L_\mathrm{B}$ と直線 $\mathrm{CA}$，$L_\mathrm{C}$ と直線 $\mathrm{AB}$ がそれぞれ交わるならば， これらの3点は一直線上にあることを示せ．