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四面体の体積と垂心

当初は次のような前文とともに予想問題として公表された．

「予想問題：次の命題はまだ証明できていません．違うかも知れません． 下の操作を他の面から始めると別の極値が得られ，4つの極値のどれが最大になるかは $p,\ q,\ r,\ s$の関係によるのかも知れません． しかしどうも美しさからいっても次の命題が成り立つはずです．予想問題としますので，それをふ まえて考えてください．（南海） 追記：2000/1/7の掲示板にKaneyさんの肯定的な解答あり．」

問題 2.3       解答2.4

$\mathrm{OA}=p,\ \mathrm{OB}=q,\ \mathrm{OC}=r,\ \mathrm{OD}=s$と4つの値を固定する．

$\mathrm{O}$から $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$への垂線の足を$\mathrm{E}$とし， $\mathrm{OE}=t$とする．

$\mathrm{EA}=\sqrt{p^2-t^2}$， $\mathrm{EB}=\sqrt{q^2-t^2}$， $\mathrm{EC}=\sqrt{r^2-t^2}$ となるのでこの長さで $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の面積が最大になるように $\mathrm{A,\ B,\ C}$ を配置する（このとき$\mathrm{E}$は $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の垂心になっている）．

$\mathrm{D}$を $\mathrm{D,\ O,\ E}$が直線になるようにとる．このときの四面体$\mathrm{ABCD}$ の体積を$V(t)$とする．

$t$を動かし，$V(t)$が最大となるとき，$\mathrm{O}$は四面体$\mathrm{ABCD}$の垂心であることを示せ． つまり， $\mathrm{AO}$は $\bigtriangleup \mathrm{DBC}$と垂直であり， $\mathrm{BO}$は $\bigtriangleup \mathrm{DAC}$と垂直であり， $\mathrm{CO}$は $\bigtriangleup \mathrm{DAB}$と垂直であることを示せ．