次: 解答 上: 解析分野 前: ルジャンドルの多項式

円周率が無理数であること

2003年の大阪大学後期理系で「円周率が無理数であること」を示す    問題が出題されました． これは，それとはやや違った設定で示そうとするものです．

問題 3.2       解答3.2

$\pi$ が無理数であることを次の順に証明しよう．

いま，$\pi$ が有理数 $\dfrac{q}{p}$ ($p$, $q$ は自然数)に等しいと仮定する．そして

$$f(x)=\dfrac{1}{n!}x^n(q-px)^n,\quad I_n=\int _0 ^{\pi} f(x) \sin x \, dx$$

とおく．

1. $n$ を十分大きくとると
   
   $$0<I_n<1$$
   
   
   となることを示せ．
2. 
   
   $$I_n=\left[\sum_{k=0}^n(-1)^{k+1}f^{(2k)}(x)\cos x\right]_0^{\pi}$$
   
   
   を導き，$I_n$ が整数であることを示せ．

   これは(1)と矛盾しているので, $\pi$ は無理数である.