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場合の数の系統だった数え方,期待値

98年京大の    問題の一般化です.

問題 4.1       解答4.1

一般化された問題を解け.

原題(98年の京大)
袋に青色,赤色,白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている.各色の 3 個の玉にはそれぞれ 1 , 2 , 3 の番号がついている.これらの 9 個の玉をよくかきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す. 取り出した 3 個のうちに同袋の中に青色,赤色,白色の形の同じ玉がそれぞれ3個ずつ入っている. 各色の3この玉には,それぞれ1,2,3の番号がついている. これら9個の玉をよくかきまぜて復路から同時に3個の玉を取り出す. 取り出した3個のうちに同色のものが他になく,同番号のものも他にない玉の個数を得点とする. たとえば,青1番,赤1番,白3番を取り出したときの得点は1で, 青2番,赤2番,赤3番を取り出したときの得点は0である.このとき以下の問いに答えよ.

  1. 得点が$n$になるような取り出し方の数を$A(n)$とするとき, $A(0),A(1),A(2),A(3)$ を求めよ.
  2. 得点の期待値を求めよ.

一般化
袋に,$k$種の色でぬられた同じ形の玉が$k$個ずつ$k^2$ 個入っている. 各色の$k$個の玉には 1 から$k$まで番号がついている.ここから同時に$k$ 個の玉を取り出す. $k$個のうち同色のものが他になく,同番号のものも他にない玉の個数を得点とする.

得点が $n$ になるような取り出し方の総数を $f_k(n)$ とする.

  1. $f_k(n)$ を求める一般的な方法を見いだし, $f_4(0),\ f_5(0)$を求めよ.
  2. 得点の期待値を $k$ の式で表せ.
  3. $f_k(n)$$k$$n$ の式で表すことはできるか.



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