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射影の方法

可換体上の射影空間

パスカルは，円錐曲線に関してある点群や線群で共線や共点という性質が成り立つことを示すのに，円錐曲線が円である場合で示せばよいことを発見した．

ある平面の上にある図形を空間の一点から射影し他の平面に写したとき，一方の平面上で3直線が1点で交わることと，他方の平面上にある対応する3直線が1点で交わることは同値である．この論の根拠になるのは，空間のある点を通る平面やその交わりとしての直線を，その点を通らないどの平面で切っても，切り口にできる図形の共線や共点という性質は不変だ，ということである．そして任意の円錐曲線はある円の射影として得られる．よってパスカルの定理は，円の場合に証明できれば一般の円錐曲線で成り立つ．

これが射影の方法である．この立場からは，1定点を通る直線をどのような平面で切っても同じことなのであるから，定点を通る直線の集合が射影空間を構成する基本的な要素に他ならないということになる．とすれば

空間の1定点を通る直線の集合，これが射影平面である． 「射影平面の点」とは，1定点を通る直線のことである． 「射影平面の直線」とは，1定点を通る平面のことである．

と定義できる．パスカルのこの立場から射影空間を定義してみよう．

$n$を自然数，$\mathbb{R}$を実数体とする．$n+1$次元線形空間 $V^{n+1}(\mathbb{R})$を考える． この1次元部分空間つまり $V^{n+1}(\mathbb{R})$の直線を「点」，2次元部分空間つまり $V^{n+1}(\mathbb{R})$の平面を「直線」とし， $V^{n+1}(\mathbb{R})$の平面が $V^{n+1}(\mathbb{R})$の直線を含むことを「通る」と定め，この「点」と「直線」でできるもの$P^n$を射影幾何という．

同次座標による表現

線型空間 $V^{n+1}(\mathbb{R})$の1次元部分空間が射影空間$P^n$の点になる．これをさらに具体的に書き下そうとするとどのようになるか．ここに同次座標の考え方が生まれた．

$n+1$次元線形空間 $V^{n+1}(\mathbb{R})$に一組の基底を定め，それによってその要素を座標で表す． $V^{n+1}(\mathbb{R})$から $\{0\}=(0,\ 0,\ ,\ \cdots,\ 0)$を除いた集合を ${V^{n+1}(\mathbb{R})}^*$と表す． ここに同値関係〜を定義する．

${V^{n+1}(\mathbb{R})}^*$の二つの要素 $\mathrm{\bf x}=(x_0,\ x_1,\ \cdots,\ x_n)$と $\mathrm{\bf y}=(y_0,\ y_1,\ \cdots,\ y_n)$に対して，0でない $k\in \mathbb{R}$で $(y_0,\ y_1,\ \cdots,\ y_n)=(kx_0,\ kx_1,\ \cdots,\ kx_n)$ となるものが存在するとき，

$$\mathrm{\bf x}〜\mathrm{\bf y}$$

とする．$P^n$は

$$P^n={V^{n+1}(\mathbb{R})}^*／〜$$

と表される． $\mathrm{\bf x}$を含む同値類を$(x)$と表す． $(x),\ (y)$に対して$P^n$の部分集合$l((x),\ (y))$を

$$l((x),\ (y))=\{(z)\ \vert\ z=x\lambda+y\mu,\ \lambda,\ \mu　\in K\}$$

で定める． このとき$l((x),\ (y))$は$x$と$y$のとり方によらず$(x),\ (y)$によって一意に定まる． これが直線である．

こうしてパスカルの思想を実現するモデルが構成された． 次節で改めて公理的に射影幾何を定義し，このモデルがその公理系を満たすことも示そう．