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条件付確率の定義

確率空間$(U,\ p)$と2つの事象$A$と$B$があるとする． 実数$p_A(B)$を

$$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

で定める．定義から，$p_A(A)=1$である．

これを，事象$A$が起こったという条件のもとで$B$が起こる確率という意味で, 条件付き確率という．

条件付き確率 $ p_A $ は，集合 $ U $ を標本空間とする確率になっている． つまり， $ (U, p_A) $ が集合 $ U $ を標本空間とする新たな確率空間となる．

それを確認する． 確率の定義の条件をみたせばよい．

$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\ge 0$

$ p_A(U)=\dfrac{p(U\cap A)}{p(A)}=\dfrac{p(A)}{p(A)}=1 $

$ B\cap C=\emptyset $ のとき， $ (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A) $ で $ (B\cap A)\cap (C\cap A)=\emptyset $ なので， \begin{eqnarray*} p_A(B\cup C)&=&\dfrac{p((B\cup C)\cap A)}{p(A)}=\dfrac{p((B\cap A)\cup (C\cap A))}{p(A)}\\ &=&\dfrac{p(B\cap A)+p(C\cap A)}{p(A)}=p_A(B)+p_A(C) \end{eqnarray*}

$ p_A(A)=\dfrac{p(A\cap A)}{p(A)}=\dfrac{p(A)}{p(A)}=1 $ であるから， 確率空間 $ (U, p_A) $ はまた， $ A $ を標本空間とする確率空間 $ (A, p_A) $ ともみなすことができる．

なお，根元事象が同様に確からしく，集合の要素の個数で確率が決まるときは， \[ p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} =\dfrac{\dfrac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\dfrac{n(A)}{n(U)}} =\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)} \] である．

確認問題 1       解答1

白玉5個と赤玉3個が入っている袋から，1個ずつ順に3個の球を取りだした． 1番目の玉が赤であるとき，3番目の玉が白である確率を求めよ．

問題 2       ［2002年センター試験追試数学�U・B改題］    解答2

5枚の赤いカードに，2，3，4，5，6という数がそれぞれ一つずつ書いてあり，5枚の青いカードにも，7，8，9，10，11という数がそれぞれ一つずつ書いてある．赤いカードのうちから1枚，青いカードのうちから1枚引いて，書かれてある数をそれぞれ $X,\ Y$ として確率変数 $X,\ Y$ を定め，$Z=2X+Y$ として確率変数 $Z$ を定める．

1. $X$と$Z$が素数になる確率を求めよ．
2. $Z$ が素数になるという条件のもとで， $X$ が素数になる条件つき確率と，$Y$が素数になる条件つき確率を求めよ．
3. $X$ が素数になるという事象と $Z$ が素数になるという事象， および， $Y$ が素数になるという事象と $Z$ が素数になるという事象は， それぞれ独立か独立でないか，理由をつけて答えよ．
4. $X$と$Z$の平均(期待値)を求めよ．

問題 3       ［2004 センター試験・本試験，数学�U・B改題］    解答3

二つのさいころAとBがあり，各面に $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ という目が書かれている． これらのさいころについて，Aのさいころの各面には $1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8$ のシールを貼り， Bのさいころの各面には $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4$ の目のシールを貼った．
はじめに硬貨を投げ，次にAとBのさいころを同時に投げる次の試行を行う．

• 硬貨を投げて表が出れば，両方のさいころのシールをすべてはがして二つのさいころを同時に投げる．
• 硬貨を投げて裏が出れば，両方ともシールをはがさずに二つのさいころを同時に投げる．

この試行について次の問いに答えよ．ただし，シールの有無にかかわらず， さいころの各面の出方は同様に確からしいとする．

1. 目の和が3の倍数であるという条件のもとで，二つのさいころの目の差が2以下である条件つき確率求めよ．
2. この試行における二つのさいころの目の和を表す確率変数を $X$ とする． 硬貨を投げて表が出たとき，同時に投げた二つのさいころの目の和の期待値， およびこの試行における $X$ の期待値を求めよ．

問題 4       ［03千葉大］    解答4

$k$を整数とし$q$を実数とする．A，Bの2人が次のようなゲームを行う． まずAが3枚の硬貨を投げ，表の出た枚数を$X$とする．$X>k$ならAの勝ち，$X<k$ならBの勝ちとする． $X=k$のときは当たる確率が$q$のくじをAが引き，当たればAの勝ち，そうでなければBの勝ちとする． A，Bとも，勝った場合には$X+1$円の賞金がもらえ，負けた場合には何ももらえない(0円もらう)とする． ここで$k$および$q$の値は，AとBのもらう賞金の期待値が等しくなるように定める．

1. $k$と$q$の値を求めよ．
2. 上のゲームを2回行ったとき，Bの賞金総額が3円であった． このとき，Aの賞金総額も3円である条件付き確率を求めよ．

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