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確率変数と確率分布

同じことになるが，根元事象に実数値を定める規則，といってもよい．

$U$の要素$u$に対して実数$X(u)$が定まる，つまり$U$から実数への写像が確率変数である． 数$a$に対し$X=a$である確率とは，数の値が$a$となるような結果の集合で定まる事象の確率のことになる．

$$A=\{u\ \vert\ X(u)=a,\ u \in U\}$$

とすると

$$P(X=a)=p(A)$$

である．これはまた

$$P(X=a)=\sum_{u:X(u)=a}p(u)$$

とも表せる．$P(X=a)$で確率変数$X$が値$a$をとる確率を表す．

確率変数$X$のとる値の全体が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとすると，$X$は 値 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$に対して確率 $p_1=P(X=x_1),\ p_2=P(X=x_2),\ \cdots,\ p_n=P(X=x_n)$を対応させる． この対応を$X$の確率分布と言う．

例 5        確率変数$X$を，サイコロを振って3の倍数が出れば2点，その他の目では1点とする． すると確率変数$X$のとる値は1か2で，確率分布は

$$P(X=1)=\dfrac{2}{3},\ P(X=2)=\dfrac{1}{3}$$

となる．