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二項分布

ある操作を$n$回行い,それを一つの試行とする. $k$回目にあることが起こるか起こらないかを問題にする. この確率空間で, 各$k$ $l\ (1\le k,\ l\le n)$に対して, $k$回目にそのことが起こる事象の確率と, $l$回目にそのことが起こる事象の確率がすべて等しく$p$であり, かつ $k$回目にそのことが起こる事象と, $l$回目にそのことが起こる事象がたがいの独立であるとする.

このような試行を反復試行という. 標本空間は

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
(×,\ ×,\ \cdots ,\ ×)\\
(○,\ ×...
...s\\
\cdots \\
(○,\ ○,\ \cdots ,\ ○)
\end{array}
\end{displaymath}

と,$n$回の結果を並べたもの全体である. ただし,○はあることが起こったこと,×は起こらなかったことを意味する.

このとき,$n$回中にそのことが起こる回数という確率変数を$X$とする. この確率変数は,$0 \le k \le n$の範囲の整数$k$に対して

\begin{displaymath}
P(X=k)={}_n{\rm C}_kp^k(1-p)^{n-k}
\end{displaymath}

であり,$k<0,\ n<k$に対しては$P(X=k)=0$となる. この確率分布を,二項分布という.

実際,その独立性により,$k$回起こる各々の確率が$p^kq^{n-k}$で, それが ${}_n\mathrm{C}_k$通りあるから, $X=k$となる確率は ${}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}$である.

この確率分布は,二項定理

\begin{displaymath}
(p+q)^n=\sum_{k=0}^n{}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}
\end{displaymath}

$p$について$k$次の項が$k$回起こる場合の確率を与えるので二項分布という. このとき,起こる回数の期待値 $E$

\begin{displaymath}
E=\sum_{k=1}^n k {}_n{\rm C}_kp^k(1-p)^{n-k}=np
\end{displaymath}

となる.二項係数の基本公式([04年九大前期文理系]解答8参照)

\begin{displaymath}
k {}_n{\rm C}_k =n{}_{n-1}{\rm C}_{k-1}
\end{displaymath}

から,

\begin{eqnarray*}
∴\quad E&=&\sum_{k=1}^n k {}_n{\rm C}_kp^k(1-p)^{n-k}\\
&...
...1}{\rm C}_{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\
&=&np\{p+(1-p)\}^{n-1}=np
\end{eqnarray*}

このように,反復試行の確率は,二項分布という分布を与えるモデルとしてとらえたとき, はじめてその発展的な意味がつかめる. ここで,二項分布に係わる問題を紹介しよう.

問題 7       [85京大理系]    解答7

2枚の硬貨があり,1枚ずつ投げたとき表の出る確率をそれぞれ $a$$b$ とする. 2枚同時に投げたとき,表の出た硬貨の枚数を $X$ とする. 従って,確率変数 $X$ は値 0,1,2 をとり,その確率分布は $a$$b$ により定まる. 逆に $X$の分布を指定したとき,その分布を与えるような $a$$b$ の値が存在するかどうか, また存在する場合には,どれだけあるか,次の2つの場合について答えよ.

  1. $X$ は2項分布,すなわち $P(X=k)={}_2\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{2-k}\ (k=0,\ 1,\ 2)$
    ただし,$p\ (0<p<1)$はあらかじめ指定した定数である.
  2. $X$ は一様分布,すなわち $P(X=k)=\dfrac{1}{3}$$k=0$,1,2)

問題 8       [04九大前期文理系]    解答8

$n$を3以上の自然数とする.スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に$n$個並んでいる. これらの$n$個の電球のスイッチを同時に入れたあと,左から電球の色を見ていき,色の変化の回数を調べる.

  1. 赤青…青,赤赤青…青,……のように左端が赤色で色の変化がちようど1回起きる確率を求めよ.
  2. 色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ.
  3. 色の変化がちょうど$m$ $\ (0\le m\le n-1)$起きる確率を求めよ.
  4. 色の変化の回数の期待値を求めよ.

二項分布の分散と標準偏差

二項定理

\begin{displaymath}
(p+q)^n=\sum_{k=0}^nk{}_n \mathrm{C}_kp^kq^{n-k}
\end{displaymath}

の両辺を,$p$で1回微分した式と2回微分した式はそれぞれお,

\begin{eqnarray*}
n(p+q)^{n-1}&=&\sum_{k=1}^n k{}_n \mathrm{C}_kp^{k-1}q^{n-k}\...
...p+q)^{n-2}&=&\sum_{k=2}^n k(k-1){}_n \mathrm{C}_kp^{k-2}q^{n-k}
\end{eqnarray*}

である.よって

\begin{displaymath}
np(p+q)^{n-1}+n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}=\sum_{k=1}^n k^2{}_n \mathrm{C}_kp^kq^{n-k}
\end{displaymath}

が成り立つ.

二項分布$X$の期待値$E(X)$は,先に見たように

\begin{displaymath}
E(X)=np
\end{displaymath}

であった.また,上の計算から

\begin{eqnarray*}
E(X^2)&=&\sum_{k=1}^n k^2{}_n \mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}\\
&=&np(p+1-p)^{n-1}+n(n-1)p^2(p+1-p)^{n-2}=np+n(n-1)p^2
\end{eqnarray*}

となるので,

\begin{displaymath}
V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=np+n(n-1)p^2-n^2p^2=np(1-p)=npq
\end{displaymath}

よってまた,標準偏差は

\begin{displaymath}
\sigma(X)=\sqrt{npq}
\end{displaymath}

である.
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Aozora 2017-09-13