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標本空間の積

これはすでに100円硬貨と10円硬貨を投げる試行でおこなっている． 100円硬貨を投げる試行の標本空間は，要素は2個，表と裏． 10円硬貨を投げる試行の標本空間も，要素は2個，表と裏． それを$x$軸と$y$軸にとるように $(表，裏)$の組で考えた．

これを少し一般化しよう．

2つの確率空間$(U_1,\ p_1)$と$(U_2,\ p_2)$があり， $p_1$と$p_2$はそれぞれ$U_1$と$U_2$の事象だけで定まり， たがいに$U_2$と$U_1$の事象とは無関係であるとする． つまり，$U_1$の$u$が起こったとき， $U_2$ではその何れもが，$p_2$で定まる確率で起こりうる， $U_2$，$U_1$でも同様ということである．

$$\begin{eqnarray*} U_1&=&\{u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_s\}\\ U_2&=&\{v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_t\} \end{eqnarray*}$$

とする． $u=u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_s$と $v=v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_t$に対して 確率$p_1(u)$と$p_2(v)$が定まっている． 新たな標本空間$U$を

$$U=\{(u,\ v)\ \vert\ u\in U_1,\ v\in U_2\}$$

で定め，この標本空間に確率$q$を

$$q\{(u,\ v)\}=p_1(u)\cdot p_2(v)$$

で定める．これが$U$の確率になっていることはすぐに検証できる． 集合$U$を$(U_1,\ U_2)$のように書こう． 同様に$U_1,\ U_2$のそれぞれの部分集合$A,\ B$に対して， $U=(U_1,\ U_2)$の部分集合

$$\{(u,\ v)\ \vert\ u\in A,\ v\in B\}$$

を$(A,\ B)$のように書こう． この$U$のなかで部分集合

$$(A,\ U_2)=\{(u,\ v)\ \vert\ u\in A,\ v\in U_2\}$$

を考える． $p_1$と$p_2$はそれぞれ$U_1$と$U_2$の事象だけで定まり， たがいに$U_2$と$U_1$の事象とは無関係であるとの仮定から， $A$に対してすべての$v\in U_2$ に対して，$(A,\ v)\in U$である． つまり， $(A,\ U_2)\subset U$である． この結果，もとの試行$U_1$の事象$A$を$U$に埋め込むことができる． 同様に$U_2$の事象$B$に対して$(U_1,\ B)$で，$B$を$U$に埋め込む．

$p_1$と$p_2$はそれぞれ$U_1$と$U_2$の事象だけで定まり， たがいに$U_2$と$U_1$の事象とは無関係であるとの仮定が， 埋め込みができることと同値である．

定理 4        任意の$U_1$の事象$A$と$U_2$の事象$B$に対して， このようにして埋め込まれた$U$の事象$(A,\ U_2)$と$(U_1,\ B)$は互いに独立である．

証明

$$(A,\ U_2)\cap (U_1,\ B)=(A,\ B)$$

なので

$$\begin{eqnarray*} q\{(A,\ U_2)\}&=& \sum_{u \in A,\ v \in U_2} p_1(u)p_2(v) =... ...\\ &=&\left\{\sum_{u \in A} p_1(u)\right\}p_2(B)=p_1(A)p_2(B) \end{eqnarray*}$$

より

$$q\{(A,\ U_2)\cap (U_1,\ B)\}=q\{(A,\ U_2)\}q\{(U_1,\ B)\}$$

が任意の$A$と$B$について成立する． つまり，$U$の事象$(A,\ U_2)$と$(U_1,\ B)$は互いに独立である． □

これによって

1. $p_1$と$p_2$はそれぞれ$U_1$と$U_2$の事象だけで定る．
2. 埋め込みが可能である．
3. $A$と$B$の埋め込まれた事象が独立である．

が順次成り立った．

注意 5        標本空間$U$での確率を

$$q\{(u,\ v)\}=p_1(A)\cdot p_2(B)$$

で定め，その後で$U$の性質を調べた． しかし，これは根元事象の確率が必ずしも等しくない場合を含めて考えるためである．

$U_1$の根元事象の確率が相等しく，$U_2$の根元事象の確率も相等しく， かつ，2つの標本空間$U_1$と$U_2$の積集合に，事象$A$や$B$が$(A,\ U_2)$，$(U_1,\ B)$の形で埋め込めることができるとする．

それぞれの事象の$U_1$，$U_2$での確率は， $\dfrac{n(A)}{n(U_1)}$， $\dfrac{n(B)}{n(U_2)}$である． そして，

$$n(A,\ B)=n(A)n(B),\ n(U)=n(U_1)n(U_2)$$

なので，

$$\dfrac{n(A,\ B)}{n(U)}=\dfrac{n(A)}{n(U_1)}\cdot\dfrac{n(B)}{n(U_2)}$$

が成り立つ．

よって標本空間$U$での事象$(A,\ B)$の確率は

$$p_1(A)p_2(B)$$

となり，また$A$と$B$を$U$に埋め込んだ事象が互いに独立であることも，自明である．

逆にいうと，先の$U$の確率$q$の定義は自然なものである．

標本空間2個の積は，$n$個の積にそのまま一般化される．

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