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確率公式

標本空間$U$の事象$A$に対して$A$の余事象を$\overline{A}$と書く． 2つの事象$A$と$B$に対して，その和和事象を$A\cup B$と書く． 2つの事象$A$と$B$に対して，の積事象を$A\cap B$と書く．

これらは，集合の記号をそのまま用いている．

定理 1  

$$\begin{eqnarray*} p(\overline{A})&=&p(U)-p(A)=1-p(A)\\ p(A\cup B)&=&p(A)+p(B)-p(A\cap B) \end{eqnarray*}$$

が成り立つ．

証明     $A\cup \overline{A}=U$で $A\cap \overline{A}=\emptyset$なので確率の定義(3)から

$$p(U)=p(A)+p(\overline{A})=1$$

$$∴\quad p(\overline{A})=1-p(A)$$

次に

$$\begin{eqnarray*} A\cup B&=&A\cup (\overline{A}\cap B)\\ &=&\{A\cap(B\cup \ov... ...(A\cap \overline{B})\\ B&=&(A\cap B)\cup (\overline{A}\cap B) \end{eqnarray*}$$

とそれぞれ共通部分のない事象の和に分割できる．ゆえに

$$\begin{eqnarray*} p(A\cup B)&=&p(A\cap \overline{B})+p(\overline{A}\cap B)+p(A\... ...A\cap \overline{B})\\ p(B)&=&p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B) \end{eqnarray*}$$

これから

$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$

である． □

注意 1        ほとんどの教科書は，集合の要素の個数の公式

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

から導いているが，これは根元事象が同様に確かなときしか当てはまらない．

さらに教科書は，この公式から

$$A\cap B=\emptyset\ のとき\ p(A\cup B)=p(A)+p(B)$$

を導いているが，これは論の立て方がまったく逆である．

$A\cap B=\emptyset$のとき，事象$A$と事象$B$は互いに排反であるという． 確率の公理から

$$事象Aと事象Bが互いに排反のとき\ p(A\cup B)=p(A)+p(B)$$

である．

確率を全ての事象に確率値を対応させる関数として定義した． 事象はすべて根元事象の和集合になるので，根元事象の確率が定まっていれば， 一般の事象の確率はそれを構成する根元事象の確率の和になるのではないか．

根元事象が有限個の場合はその通りなのだ．また 無限個あっても $1,\ 2,\ 3,\ \cdots$と数えられるような可算無限の場合も含めて， 事象$A$の確率$p(A)$は

$$p(A)=\sum_{u\in A}p(u)$$

でよい．

ところが連続的な確率の場合にはこれでは定義にならない． これについては，最後の「連続的確率」を参照してほしい．

以下，「無限標本空間」までは標本空間が有限集合であるものとする．