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根元事象の確率が等しいとき

定理 2        標本空間が有限集合で， 根元事象の確率がすべて等しいとき， 事象$A$の確率は

$$p(A)=\dfrac{n(A)}{n(U)}$$

で与えられる．ただし$n(\quad )$は集合の要素の個数を表す．

証明      標本空間$U$が$N$個の要素からなるとし，

$$U=\{u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_N\}$$

とする． またその確率を$p$とする．

$$\begin{eqnarray*} 1&=&p(U)=p(\{u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_N\})\\ &=&p(u_1)+p(u_2)+\cdots+p(u_N) \end{eqnarray*}$$

そして $p(u_1)=p(u_2)=\cdots=p(u_N)$であるから結局

$$p(u_1)=p(u_2)=\cdots=p(u_N)=\dfrac{1}{N}$$

となる． $A=\{u'_1,\ u'_2,\ \cdots,\ u'_r\}$をある事象とすると

$$\begin{eqnarray*} p(A)&=&p(\{u'_1,\ u'_2,\ \cdots,\ u'_r\})\\ &=&p(u'_1)+p(u'... ... &=&\dfrac{1}{N}+\dfrac{1}{N}+\cdots+\dfrac{1}{N}=\dfrac{r}{N} \end{eqnarray*}$$

である． □

確認した現在の教科書の多くは， 「ある事象$A$の起こることが期待される割合を， 事象$A$の確率といい，これを$P(A)$で表す」 と，書いている．これはまったく経験的な言葉であり， 数学の定義にはなっていない．

そして，根源事象がすべて同様に確からしいときとの条件の下で， 定理2の式を確率の定義としている． そして，確率の定義1を，「確率の性質」としている． これは逆ではないだろうか．

例題 1       $n$本のくじの中に$5$本の当たりくじがある． $8$ 人の人が一本ずつ引く． その中に$3$ 本の当たりが出る事象を$A$とする．確率$P(A)$を求めよ．

解答

1. くじも人も区別する場合：
   $n$本のくじから8枚を選び，8人にわたす． $n(U)={}_{n}\mathrm{P}_8$． 該当事象は，誰が当たるかを決め，そこに当たりくじを， 残る5人に外れくじをわたす場合の数だけある．
   
   $$P(A)= \dfrac{{}_8\mathrm{C}_3\cdot{}_5\mathrm{P}_3 \cdot{}_{n-5}\mathrm{P}_{5}} {{}_{n}\mathrm{P}_8}$$
   
   

2. くじは区別し，人は区別しない場合：
   $n$本のくじから8枚を選ぶ． $n(U)={}_{n}\mathrm{C}_8$． 該当事象は，当たりから3本，外れから5本を選ぶ場合の数だけある．
   
   $$P(A)= \dfrac{{}_5 \mathrm{C}_3\cdot{}_{n-5}\mathrm{C}_{5}}{{}_{n}\mathrm{C}_8}$$
   
   

3. くじは区別せず，当たりか外れかのみを区別する場合：
   すべてのくじを並べ，端から8本とる．$n$本のどこに当たりがあるか， すべての当たりの配置を$U$とする． $n(U)={}_{n}\mathrm{C}_5$． 該当事象は，端の8本のうち3本当たり，残る$n-8$本中に2本当たりがある配置の数だけある．
   
   $$P(A)=\dfrac{{}_8\mathrm{C}_3\cdot{}_{n-8}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n}\mathrm{C}_5}$$
   
   

よって求める確率は次のようになる．

$$P(A)=\dfrac{3360(n-8)(n-9)}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}$$

途中の式はこのように当然異なるが，最後の確率は一致している．