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まえがき

数えることは,言葉を話すこととともに,人間にとってもっとも基本的なことである.数は身近な第二の母語というべきものである.数はまず自然数である.この基本的な自然数の世界に,今も多くの未解決問題があることは驚きである.自然数は,整数から有理数,実数,複素数へと世界をひろげる.そのなかで整数もまた代数的整数へと拡大される.整数の理論を数論という.これは今日も発展し続けているまことに美しい理論である.

基本となるのは有理数のなかにある整数,有理整数である.『数論初歩』は有理整数の古典理論を紹介するものである.本書では,とくに断らなければ有理整数のことを単に整数という.数論は初等的な段階から数学のおもしろさ,美しさを実感することができる分野である.また,体系立てて学ぶことで,少ない原理を自由に広く応用するという,数学の大切な精神を身につけることができる.

中学生,高校生の時期に数のもつ美しい性質の一端に触れることは,その人を豊かにするとともに,現象を掘り下げて深く考える力をつける.しかし,現実に日本の高校生が出会う整数は,入学試験問題に引きずられて記述されるため,行きあたりばったりで切れ切れの知識が積みあげられ,小手先の方法論が先行し,単純で美しく,かつ豊かな整数の世界がかえってわかりにくくなっている.これが現状である.これはたいへん残念なことである.

このような現状を打破し,数の理論の美しさを伝えてゆく.そのための基礎作業の一つがこの『数論初歩』である.整数分野は教育数学にとっても重要な分野である.したがってこれは,教育数学を構築してゆく上での基礎作業でもある.

『数論初歩』は,実際に計算して整数に触れながらすすんでいくことに重きをおいた.整数の美しさに触れ,さらに広い世界の探索に出て行く契機となることを願っている.『数論初歩』があつかう範囲は,おおよそ『初等整数論講義』(高木貞治, 共立出版) の第1章,第2章に対応する有理整数の古典理論で,主眼は平方剰余の相互法則をいくつかの初等的な方法で証明することである.さらに素数分布について一端に触れることができるようにした.また,自然数の公理的構成から整数,有理数の構成についても最後に一章をあてた.

いくつかの節をまとめて章とし,章ごとに演習問題をつけた.演習問題はその内容を理解する助けとなる「練習問題」と関連する「入試問題」で構成した.「入試問題」は20世紀末から21世紀初頭にかけて日本に大学入学試験で実際に出題されたものである.最後に解答をつけたが,練習問題は定理やその他本文の結論を用いるようにし,逆に入試問題はできるだけそのなかで完結する方法で解くようにした.

「定理」は一般的な結果であり「系」はそれからただちに導かれる命題である.「補題」は定理の証明に必要な準備的命題を意味する.これらは通し番号になっている.「例」は材料となる具体的な例や,試しに解いてみる問題,「注意」は意味通りであり,これらは節毎に【節番号-番号】の形で番号をつけている.また■は命題の終わりを,□は証明の終わりを意味する.

2018.8.11< 2009.10.26< 2005.1.15< 2000.11.12


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