次: 平方剰余の相互法則 上: 平方剰余 前: 平方剰余とルジャンドルの記号

整数を平方数の和に分解すること

平方剰余の応用として次の有名な定理を証明しよう．

定理 32
     すべての正の整数 $n$は

$$n={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2\quad (0 \le x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4)$$

と，0を許した四つの平方数の和として表すことができる． ■

証明    次の恒等式

$$({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2)({y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2+{y_4}^2)$$ (3.2)

$$(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2 +(x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2$$ =

$$\quad +(x_1y_3-x_2y_4-x_3y_1+x_4y_2)^2 +(x_1y_4+x_2y_3-x_3y_2-x_4y_1)^2$$ (3.3)

によって，四つの平方数の和の積は，再び四つの平方数の和である． 従って $n$ が素数 $p$ の場合に証明すれば十分である．

$n=2$なら $2=1^2+1^2$ で成立する．

$n=p>2$ とする． $-1$が $p$ の平方剰余なら

$$x^2+1=ph$$

とおく．

$-1$つまり $p-1$ が $p$ の平方非剰余なら $1,\ 2,\ \cdots,\ p-1$ は $p$ の平方剰余 $1$ から始まって非剰余 $p-1$ に終わる系列なので，そのなかには $k$ は平方剰余で あるが, $k+1$ は非剰余であるような $k$ が必ずある．ところがこのとき

$$\left(\dfrac{-k-1}{p} \right)=\left(\dfrac{-1}{p} \right)\left(\dfrac{k+1}{p} \right) =(-1)\cdot (-1)=1$$

であるから

$$\begin{array}{ll} {x_1}^2=k &\quad (\bmod.\ p),\\ {x_2}^2=-k-1&\quad (\bmod.\ p), \end{array}$$

となる $x_1,\ x_2$ がある．これは

$${x_1}^2+{x_2}^2+1\equiv 0\quad (\bmod.\ p)$$

つまり

$${x_1}^2+{x_2}^2+1=ph$$

とおける．

従って一般に素数 $p$ に対して

$${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2=ph$$ (3.4)

となる $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ と $h$ が存在する． あえて$x_4$ までとらなければならないのは，後の証明で恒等式 (3.3) を使うからである．

ここで $h>1$ なら $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ を適当な $x'_1,\ x'_2,\ x'_3,\ x'_4$ にとりかえて$1\le h'<h$ で

$${x'_1}^2+{x'_2}^2+{x'_3}^2+{x'_4}^2=ph'$$

とできることを示す． これが示されれば, $h$ は正の整数なので有限回の操作の後 $h=1$ にすることができ， 題意が示されるからである．

式 (3.4) における $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ を $h$ で割って絶対値最小の剰余を $y_1,\ y_2,\ y_3,\ y_4$ とする．つまり

$$\begin{array}{l} x_1\equiv y_1 ,\ x_2\equiv y_2,\ x_3\eq... ..._i\vert\le \dfrac{h}{2}\quad ,\ i=1,\ 2,\ 3,\ 4 \end{array}$$

従って

$${y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2+{y_4}^2\equiv {x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2\equiv 0 \quad (\bmod.\ h)$$

である．

$${y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2+{y_4}^2=hh'$$

とおく．これを式(3.3) に代入する．

$${z_1}^2+{z_2}^2+{z_3}^2+{z_4}^2=ph^2h'$$

ただし

$$\begin{array}{ll} z_1\equiv x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\... ...4+x_2x_3-x_3x_2-x_4x_1 \equiv 0 & (\bmod.\ h) \end{array}$$

ゆえに

$$z_1=ht_1,\ z_2=ht_2,\ z_3=ht_3,\ z_4=ht_4$$

とおける．このとき

$${t_1}^2+{t_2}^2+{t_3}^2+{t_4}^2=ph'$$

ところが

$$hh'={y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2+{y_4}^2\le 4 \left(\dfrac{h}{2} \right)^2$$

ゆえに

$$h'\le h$$

ここでもし $h'=h$ とすれば，この等号が成立するのは $y_i=\dfrac{h}{2} \ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$ のときである．このとき $\dfrac{h}{2}$ は整数で

$$x_i=y_i+m_ih=(2m_i+1)\dfrac{h}{2} \ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$$

となる．これを式(3.4) に代入すると，

$$(2m_1+1)^2\dfrac{h^2}{4}+(2m_2+1)^2\dfrac{h^2}{4} +(2m_3+1)^2\dfrac{h^2}{4}+(2m_4+1)^2\dfrac{h^2}{4}=ph$$

つまり

$$\{(2m_1+1)^2+(2m_2+1)^2+(2m_3+1)^2+(2m_4+1)^2\}\dfrac{h}{4}=p$$

左辺は $({m_1}^2+m_1+\cdots+{m_4}^2+m_4+1)h$ となるが $h$ が偶数なので $p$ が奇素数であることと矛盾した．

$$∴\quad h'<h$$

つまり証明は完成した．□

次: 平方剰余の相互法則 上: 平方剰余 前: 平方剰余とルジャンドルの記号