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多項式の除法

体を係数とする多項式の環

実数を係数とする多項式全体を考える． このような実数係数の多項式の集合を，変数を明示して$\mathbb{R}[x]$と表そう． 以下のことは$\mathbb{R}[x]$で考えても，有理数係数にかぎって$\mathbb{Q}[x]$で考えても， また複素数で考え$\mathbb{C}[x]$としても同じことである． そこで，体$K$を有理数体$\mathbb{Q}$， 実数体$\mathbb{R}$，複素数体$\mathbb{C}$のいずれかを表すものとし， これからは体$K$に係数をもつ多項式の集合$K[x]$を考えることにする．

整数係数で考えるときはまた別の問題であることには注意したい．

$x$ の多項式$f(x)$に対して$\deg f(x)$でその次数を表すとする． $f(x)$の大きさをその次数$\deg f(x)$とすると， この大きさに対して除法の定理が成り立つ．

定理 37 (多項式の除法の定理)
     多項式 $f(x),\ g(x) (\deg g(x) \ge 1)$ とする．このとき，

$$f(x)=g(x) \cdot q(x)+r(x)\ , \ \deg r(x) < \deg g(x)$$

となる多項式 $q(x),\ r(x)$ がただ一組，存在する． ■

証明      $\deg f(x) < \deg g(x)$ ならば $q(x)=0,\, r(x)=f(x)$ でよい．

$\deg f(x) \ge \deg g(x)$ のとき, $\deg f(x) =n,\,\, \deg g(x)=m$ とする． $f(x)$ と $g(x)$ の $n,\,m$ 次の項をそれぞれ $a_0x^n,\, bx^m$ とする．

$$f_1(x)=f(x)-\dfrac{a_0}{b}x^{n-m}g(x)$$

と定めれば, $\deg f_1(x) < \deg f(x)$ である． $f_1(x)$と $g(x)$ について同様の操作を繰り返す． $f_k(x)$ の次数が $n_k$ で最高次数の係数が $a_k$ とすれば

$$f_{k+1}(x)=f_k(x)-\dfrac{a_k}{b}x^{n_k-m}g(x)$$

$l$回の操作の後, $\deg f_l(x) < \deg g(x)$ となったとき，

$$f_l(x)=r(x),\,\,q(x)=\sum_{k=0}^{l-1}\dfrac{a_k}{b}x^{n_k-m}$$

とする．この $f_1(x)$ に対し

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&g(x)\dfrac{a_0}{b}x^{n-m} +f_1(x)\\ &=&g(x)\dfrac{a_... ...ac{a_1}{b}x^{n_1-m} +f_2(x)\\ &&\cdots\\ &=&g(x)q(x)+f_l(x) \end{eqnarray*}$$

となるので，定理の等式を満たす．

これが一組しかないことを示す．二組あったとする．

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& g(x) \cdot q_1(x)+r_1(x) \\ &=& g(x) \cdot q_2(x)+r_2(x) \end{eqnarray*}$$

すると，

$$g(x) \cdot \{ q_1(x)-q_2(x) \} =r_2(x)-r_1(x)$$ (4.1)

となる． ここでもし $q_1(x)-q_2(x)\ne 0$なら $\deg(r_2(x)-r_1(x)) \ge \deg g(x)$ である．

ところが一方， $\deg r_1(x) < \deg g(x),\ \deg r_2(x) < \deg g(x)$ だから， $\deg(r_2(x)-r_1(x)) < \deg g(x)$．これは矛盾．

ゆえに等式(4.1)が成立するのは， $q_1(x)\ =\ q_2(x)$ のときのみである． このとき, $r_1(x)\ =\ r_2(x)$ となる．□

多項式の約数・倍数

整数の場合と同じように， 多項式$f(x)$が多項式$g(x)$の倍数であるとは， $f(x)=q(x)g(x)$を満たす多項式$q(x)$が存在することと定義する．

多項式の場合も割り算ができ， $f(x)$を$g(x)$に対して，$f(x)$を$g(x)$で割った商と余りが一意に確定することから，

$f(x)$が$g(x)$の倍数であることは， $f(x)$を$g(x)$で割った余りが0であることと同値である．

因数分解は

$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=\{3(x+1)\}\left\{\dfrac{1}{3}(x+2) \right\}=\cdots$$

のように，定数倍を除いて確定する． 約数や倍数，因数分解は，定数倍の違いを除いて決まる．

$K[x]$の中で，0でない定数は逆数もまた多項式であるから， $K[x]$では0でない定数が単数になる．

定義 5
0および定数でない多項式$f(x)$は少なくとも0でない定数と $(0でない定数)\times f(x)$を約数にもつ． これら約数以外の約数を真の約数という． 真の約数をもたない多項式を 既約 という．■

既約かどうかは，定数倍しても変わらない．

$$x+1,\ 3(x+1),\ -\sqrt{2}(x+1)$$

はすべて既約である． 既約な多項式というのは，整数環の素数と同じ役割を果たす．

ここで注意． 既約かどうかは，係数をどこで考えるかによって異なる．

例 4.2.1   $f(x)=x^4-4$は

• $\mathbb{Q}[x]$では $f(x)=(x^2-2)(x^2+2)$と因数分解され， $\mathbb{Q}[x]$で$x^2-2,\ x^2+2$は既約．
• $\mathbb{R}[x]$では $f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)$ と因数分解され， $\mathbb{R}[x]$で $x-\sqrt{2},\ x+\sqrt{2},\ x^2+2$は既約．
• $\mathbb{C}[x]$では $f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)$ と因数分解され， $\mathbb{C}[x]$で $x-\sqrt{2},\ x+\sqrt{2},\ x-\sqrt{2}i,\ x+\sqrt{2}i$ は既約．

となる．

既約かどうかは係数をどこにとるかで変わる． 以下では係数体$K$は固定されているものとする．

最小公倍数・最大公約数

さらに整数のときと同様に，公約数，公倍数が定義される． 整数では$\pm 1$倍を除いて考えるところを， 多項式では0でない定数倍を除いて考えることにすれば，まったく同じである．

公約数や公倍数は整数の場合と同じである． 2つの多項式$f(x)$と$g(x)$に対し，その最大公約数とは， $f(x)$と$g(x)$の公約数のなかで次数が最も大きいものをいう． 最大公約数が定数のとき，$f(x)$と$g(x)$は互いに素であるという．

最小公倍数とは，$f(x)$と$g(x)$の公倍数のなかで， 次数が最も小さいものをいう． 簡単のために，$a(x)$や$b(x)$などで多項式を表すことにする．

定理 38

(1)

二つ以上の多項式の公倍数は，最小公倍数の倍数である．

(2)

二つ以上の整数の公約数は，最大公約数の約数である．

(3)

$a(x),\ b(x)$ の最小公倍数を $l(x)$ ， 最大公約数を $d(x)$ とすれば $a(x)b(x)=d(x)l(x)$ ．

(4)

$a(x),\ b(x)$ が互いに素で， 他の整数 $c(x)$ と $b(x)$ との積 $b(x)c(x)$ が $a(x)$ で 割りきれるなら，実は $c(x)$ が $a(x)$ で割りきれる．■

整数の場合の証明が，ほんの一部の手直しでそのまま使える． ここでは(1)を示す．

証明      $a(x),\ b(x),\ c(x),\ \cdots$ の最小公倍数を $l(x)$ とし, $m(x)$ を任意の公倍数とする． $m(x)$ を $l(x)$ で割った商を $q(x)$ ，余りを $r(x)$ とすると

$$m(x)=q(x)l(x)+r(x),\ \quad \deg r(x))<\deg l(x)$$

となる． $l(x)$ も $m(x)$ も $a(x)$ の倍数であるから $l(x)=a(x)l(x)',\ m(x)=a(x)m(x)'$ とおくと

$$r(x)=m(x)-q(x)l(x)=a(x)\{m'(x)-q(x)l'(x)\}$$

より, $r(x)$ は $a(x)$ の倍数である． 同様に $b(x),\ c(x),\ \cdots$の倍数でもあり， $r(x)$ は $a(x),\ b(x),\ c(x),\ \cdots$ の公倍数となる． ところが $l(x)$ は次数が最小の公倍数であったから， もし $r(x)$ が0でないとすると, $l(x)$ より次数が小さい公倍数がある ことになり, $l(x)$ の次数の最小性に反する．

$$∴\quad r(x)=0$$

つまり $m(x)$ は $l(x)$ の倍数である．□

この定理の証明においても， 「除法の定理」が基本定理として用いられてることがわかる．

因数分解

多項式$f(x)$を既約な多項式の積に分解して，

$$f(x)={p_1(x)}^{e_1}{p_2(x)}^{e_2}\cdots{p_m(x)}^{e_m}$$

の形にしたものを(その体における)素因数分解という．

$p_1(x),\ p_2(x),\ \cdots,\ p_m(x)$は異なる既約な多項式， $e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_m$は正の整数である．

このとき整数と同様に次の定理が成り立つ．

定理 39
     多項式は既約な多項式の積として， 定数倍と順序を除けばただ一通りに表すことができる． ■

多項式の場合も素因数分解の一意性という． 基本的な定理である．

整数の因数分解の一意性の証明にならって， 多項式の場合についても，除法を用いないツェルメロの方法による別証明をしてみよう．

因数分解の一意性の別証明      相異なる因数分解をもつ多項式が存在するとする． 異なる因数分解をもつ多項式の集合を考える． この集合に属する次数が最小の多項式を$f(x)$とする． 次数の集合は自然数の部分集合なので，最小値が存在する． $f(x)$は相異なる2つの因数分解をもつ．それを

$$\begin{eqnarray*} f(x)=p_1(x)p_2(x)\cdots p_r(x)&&(\deg p_1(x)\le \cdots \le \d... ...(x)q_2(x)\cdots q_s(x)&&(\deg q_1(x)\le \cdots \le \deg q_s(x)) \end{eqnarray*}$$

とする．ここに $p_1(x),\ \cdots,\ p_r(x),\ q_1(x),\ \cdots,\ q_s(x)$ は既約である．これが異なる因数分解ということは $r\ne s$か，または$r=s$で異なる$p_i(x)$と$q_i(x)$が存在するか， のいずれかである． ただし，ここで因数が異なるとは，どのような定数を一方に乗じても $p_i(x)$と$q_j(x)$は一致しないことをいう．

また， $p_1(x),\ \cdots,\ p_r(x)$のいずれも $q_1(x),\ \cdots,\ q_s(x)$のいずれとも異なる． なぜなら，もし$p_i(x)=q_j(x)$なら， これを約せば$f(x)$より小さい次数で，異なる因数分解をもつ多項式が得られ， $f(x)$がそのような多項式のなかで次数最小であることに反する．

$\deg p_1(x)<\deg q_1(x)$とする． $n=\deg q_1(x)-\deg p_1(x)$とすると， 適当な定数$a$を

$$\deg\{q_1(x)-ax^n p_1(x)\}<\deg q_1(x)$$

となるようにとる．

ここで多項式$g(x)$を

$$\begin{eqnarray*} g(x)&=&f(x)-ax^n p_1(x)q_2(x)\cdots q_s(x)\\ &=&\{q_1(x)-ax^n p_1(x)\}q_2 \cdots q_s \end{eqnarray*}$$

で定める． $\deg g(x)<\deg f(x)$である．

この$g(x)$の因数分解における因数 $q_1(x)-ax^n p_1(x)$は$p_1(x)$の倍数ではない． なぜならもし$p_1(x)$の倍数なら$q_1(x)$が$p_1(x)$の倍数となり， 互いに異なる既約な多項式であることに反する． よってこの因数分解に$p_1(x)$は現れない．

一方$g(x)$は

$$\begin{eqnarray*} g(x)&=&f(x)-ax^n p_1(x)q_2(x) \cdots q_s(x)\\ &=&p_1(x)\{p_2(x) \cdots p_r(x)-ax^nq_2(x) \cdots q_s(x)\} \end{eqnarray*}$$

でもある． この$g(x)$の因数分解には，因数$p_1(x)$が現れている．

よって$g(x)$の2つの因数分解は相異なる因数分解である．

$\deg g(x)<\deg f(x)$なので， $f(x)$が異なる2つの因数分解をもつ次数最小の多項式であることと矛盾した． したがって異なる2つの因数分解をもつ多項式は存在しない．□

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