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実数の対等

二つの実数 $\omega$と$\theta$ が，整数でかつ$ad-bc=\pm 1$ である $a,\ b,\ c,\ d$ によって

$$\omega =\matrix{a}{b}{c}{d} \theta$$

となっているとき, $\omega$ と $\theta$ は 対等 であるという．

$\omega =\matrix{a}{b}{c}{d} \theta$ なら, $\theta = \matrix{d}{-b}{-c}{a} \omega$ であるから， 一方が他方に対等であれば逆も対等である．対等もまた同値関係である．

定理 51 (対等な無理数の基本性質)
     $\omega$ と $\theta$ が対等な無理数で， $\omega =\matrix{a}{b}{c}{d} \theta$ かつ, $\theta >1 \ , \ c>d>0$ ならば， $\omega$ の連分数展開の途中に $\theta$ が現れる． ■

証明

$$\omega =\matrix{a}{b}{c}{d}\theta \ ,\ ad-bc=e=\pm 1$$

とする, $a$ と $c$ は互いに素なのでそのユークリッドの互除法を

$$\vecarray{a}{c}= \matrix{q_0}{1}{1}{0} \cdots \matrix{q_n}{1}{1}{0}\vecarray{1}{0}$$

とする． 互いに素な整数の組の展開の個数 $n$ は偶数奇数いずれにもできるので, $e=(-1)^{n+1}$ となる方の $n$ にしておく．

$$\matrix{q_0}{1}{1}{0} \cdots \matrix{q_n}{1}{1}{0} =\matrix{P_{n+1}}{P_{n}}{Q_{n+1}}{Q_{n}}$$

とおく．つまり

$$\vecarray{a}{c}=\matrix{P_{n+1}}{P_{n}}{Q_{n+1}}{Q_{n}}\vecarray{1}{0}$$

すると, $a=P_{n+1},\ c=Q_{n+1}$ でさらに $P_{n+1}Q_{n}-Q_{n+1}P_{n}=(-1)^{n+1}=e$ ，つまり $aQ_{n}-cP_{n}=e$ ． よって $ad-bc= e$ より, $a(d-Q_{n})=c(b-P_{n})$ ． ところが $a$ と $c$ は互いに素であるから, $d-Q_{n}$ は $c$ で割り切れる．

他方 $c>d>0$ かつ $c=Q_{n+1} \ge Q_{n} \ge 0$ より, $\vert d-Q_{n}\vert <c$ ． したがって $d=Q_{n}$ である． その結果 $b=P_{n}$ になる． したがって, $\matrix{a}{b}{c}{d}$ 自身が $\vecarray{a}{c}$ の展開を用いて

$$\matrix{a}{b}{c}{d}= \matrix{q_0}{1}{1}{0} \cdots \matrix{q_n}{1}{1}{0}$$

となる．つまり

$$\omega =\matrix{q_0}{1}{1}{0} \cdots \matrix{q_n}{1}{1}{0} \theta$$

となる．

$\theta >1$ であるから， 展開の一意性より$\omega$ の連分数展開（の一部）そのものである．□

連分数展開の途中に現れる実数は，つねに対等であることに注意しよう．

例 5.2.1        連分数展開によって $\sqrt{2}$ の近似分数列を求めよう．

$$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} &=& \matrix{1}{1}{1}{0} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}-1... ...2}+1) =\matrix{17}{7}{12}{5}(\sqrt{2}+1) \\ &\cdots&\cdots \end{eqnarray*}$$

こうして，

$$\dfrac{1}{1} <\dfrac{7}{5} <\cdots <\sqrt{2} < \cdots <\dfrac{17}{12} <\dfrac{3}{2}$$

という近似分数列が得られる．