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整数の定義

自然数は人間にとって言葉と同じだけ古い． それに対して整数が人間のものになったのははるかに遅い．デカルト(1596−1650)でさえ方程式の負の根を「偽の根」と呼んでいるし，パスカル(1623−1662)は「ゼロから4を引けばゼロであることを理解できない人がいるのを知っている」といっている．0は無であり4を引いてもやはり無と考えられていた．もちろんゼロや負の数を今日のように理解していた人もいたが，負数の理解は簡単でなかった．

ゼロ数，負数の導入とその加法・減法の諸法則の発見は中国が最初である． 『九章算術』 には「（引き算の時）同符号は引き，異符号は加える．正を無入から引いて負とし，負を無入から引いて正とする」との一文がある.「無入」はゼロのことである． 中国で発見された負の数は，インドに渡りそこで広がり，アラビアに伝わり，そして欧州にまで届いたのである．

整数の構成という問題を後で考えることにし， 自然数に0と負整数を加えた集合を整数の集合とし$\mathbb{Z}$で表す．

$$\mathbb{Z}=\{\cdots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \cdots \}$$

である．

$\mathbb{Z}$には二つの演算，加法と乗法が定義されている． それをそれぞれ「+」「$\cdot$」で表す． 「定義されている」ということは， $\mathbb{Z}$の任意の二つの要素$x$と$y$に対し， 和$x+y$と積$x\cdot y$が一意に定まり，ふたたび$\mathbb{Z}$に属する，ということを意味する．

このとき加法と乗法について次のことが成り立つ，

I．

加法：

(i)

$(x+y)+z=x+(y+z)$．

(ii)

$x+y=y+x$．

(iii)

すべての$x$に対して$x+0=x$となる要素0が存在する．

(iv)

$x$に対し$x+y=0$となる$y$が存在する．これを$-x$と書く．

II．

乗法：

(i)

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$．

(ii)

$x\cdot y=y\cdot x$

(iii)

すべての$x$に対して$x\cdot 1=x$となる要素1が存在する．

III．

分配法則：
$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$．

集合$\mathbb{Z}$の各要素を整数という． 実は「整数」の概念は，いま考えている整数よりはるかに広く，代数的整数といわれる世界がある． そのごく一部を後に紹介するが， 広がった概念の整数の世界のなかでは，いま考えている整数を有理整数という． これは「有理数に含まれる整数」という意味である． 区別する必要のないときは単に整数というものとする．

数学では考える対象を集合としてとらえる．あるいはある概念を構成すると，その概念に適応する対象の集合を考える．そのとき，その集合がどのような構造をもっているか，これが基本的な問題意識，探求の方向となる．代数的な対象からなる集合では，そこにどのような演算が定義されうるかによって，いくつかの構造が概念化されている．その基本的のものとして，整数の集合にかかわる群，環，体の定義をここで述べておく．

群

整数$\mathbb{Z}$は加法に関して可換群である．可換群とは何か．集合 $G$ の元について，演算 $\circ$ が与えられており，次の条件を満たしているとき，集合 $G$ は演算 $\circ$ について，群 である，という．これらの四条件を 「群の公理」 という．

(i)

$a,\,b \in G$ ならば $a \circ b \in G$ （演算について閉じている）

(ii)

$(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c)$ （結合法則）

(iii)

任意の $a \in G$ に対して, $a \circ e=e \circ a=a$ となる $e \in G$ が存在する．（単位元の存在）

(iv)

任意の $a \in G$ に対して, $a \circ x=x \circ a=e$ となる $x \in G$ が存在する．（逆元の存在）（この $x$ を $a^{-1}$ と表わす）．

さらに，$a,\ b\in G$に対して $a \circ b=b \circ a$ を満たすとき，可換群 （または アーベル群 ）であるという．

環

整数$\mathbb{Z}$は加法と乗法に関して環である．環とは何か． 集合 $M$ に 二種類の演算 $\circ$ と $\ast$ が定義されていて， 一方の演算 $\circ$ については可換群であり， 他の演算 $\ast$ については 結合法則 と次の 分配法則

$$a \ast (b \circ c)=(a \ast b) \circ (a \ast c) , \,\, (b \circ c) \ast a =(b \ast a) \circ (c \ast a)$$

が成り立つとき，集合 $M$ は 環 であるという．

負数の積

負数の積がなぜ正の数になるのか．これは量の構造を根拠に意味づけができる． それはそれで大切なことなのであるが，一方$\mathbb{Z}$の環としての演算から示すこともできる．

$\mathbb{Z}$の任意の要素に対して

$$(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$$

が成り立つ．

1. 
   
   $$a=1\cdot a=(0+1)\cdot a=0\cdot a+1\cdot a=0\cdot a+a$$
   
   
   
   
   $$∴\quad 0\cdot a=0$$
   
   

2. 
   
   $$0=0\cdot a=\{1+(-1)\}\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a= a+(-1)\cdot a$$
   
   
   
   
   $$∴\quad (-1)\cdot a=-a$$
   
   

3. 
   
   $$a+(-a)=1\cdot 　a+(-1)\cdot 　a=\{1+(-1)\}\cdot a=0\cdot a=0$$
   
   
   
   
   $$∴\quad -(-a)=a$$
   
   
   ところが
   
   $$-(-a)=(-1)\cdot \{(-1)\cdot a\}=\{(-1)\cdot (-1)\}\cdot a$$
   
   
   なので
   
   $$\{(-1)\cdot (-1)\}\cdot a=a$$
   
   
   $a=1$とすると
   
   $$(-1)\cdot (-1)=1$$
   
   
   よってまた
   
   $$(-a)\cdot (-b)=(-1)\cdot a\cdot (-1)\cdot b =\{(-1)\cdot (-1)\}\cdot a\cdot b=a\cdot b$$
   
   

このように$\mathbb{Z}$は環であるがしかし体ではない．体とは何か．

体

集合 $K$ が演算 $\circ$ と $\ast$ に関して環であり， さらに $K$ から演算 $\circ$ の単位元を除いた集合が $\ast$に関して可換群を作るとき，集合 $K$ は体 であるという．

有理数$\mathbb{Q}$では$\circ$を和$+$， $\ast$を積$\cdot$にするとき，体になる． これを有理数体という． 有理数体$\mathbb{Q}$は，自然数$\mathbb{Z}$を含む最小の体である． $\mathbb{Q}$は整数$\mathbb{Z}$に成り立つ基本性質に加えて

(iv) 0でない任意の$x$に対して$x\cdot y=1$となる要素$y$が存在する． この$y$を$x^{-1}$と表す．

を加えたものである．

このような整数環$\mathbb{Z}$，有理数体$\mathbb{Q}$が実際に存在する，つまり構成できるのか．自然数の集合$\mathbb{N}$の存在を前提に，そこから構成することができなければならない．この問題は最終章でで考える．ここでは$\mathbb{Z}$と$\mathbb{Q}$の存在を前提に除法について考察を深めよう．

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