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除法の原理

整数の研究の第一歩は，整数の集合のもう一つの演算である「除法」を見直し，その基本性質を明らかにすることである．$\mathbb{Z}$の任意の要素$a$と任意の正の要素$b$に対して，次の定理 1 が示すように，$a=qb+r$となる整数$q$と，$0\le r<b$の範囲の整数$r$がただ一つ存在する．そのとき$q$を$a$を$b$で割った商，$r$を余りという．

これはいわゆる割り算がただ一通りにできるということである．これを「除法の定理」という．有理整数で成り立つ多くの事実の根拠がここにある．この節では自然数の性質に根拠をおいて「除法の定理」を証明する．

定理 1 (除法の定理)
$a$ を任意の整数, $b$ は正の整数とする．このとき，

$$a=qb+r\ ,\quad 0 \le r<b$$

となる整数 $q,\ r$ がただ一組存在する．■

証明     整数 $a$ と正整数$b$に対して

$$qb \le \left\vert a\right\vert <(q+1)b$$ (1.1)

となる整数 $q$ が存在することを示す．

$\left\vert a\right\vert<(t+1)b$を満たす整数$t$よりなる集合を$A$とする． $A$は集合 $\mathbb{N}\cup\{0\}$の部分集合である． 自然数の部分集合には最小の要素が存在するので$A$にも最小の数が存在する．それを$q$とする．$q-1$は $\left\vert a\right\vert<(t+1)b$を満たさないので $qb\le \left\vert a\right\vert$かつ $\left\vert a\right\vert<(q+1)b$である．つまり 1.1を満たす整数$q$が存在した．

そこで $r=\left\vert a\right\vert-qb$ とおく． $qb\le \left\vert a\right\vert<(q+1)b$ より$0\le r<b$ で

$$\left\vert a\right\vert=qb+r$$

である．$a\ge 0$ならこの式がただちに$a=qb+r$である．

$a<0$のときは$a=-qb-r$となる．$r=0$なら$-q$を$q$にとりなおすことで$a=qb+r$である． $0<r<b$のとき

$$a=-qb-r=(-q-1)b+(b-r)$$

$b-r$も$0 \le b-r<b$を満たす．$-q-1$を$q$，$b-r$を$r$にとりなおすことで$a=qb+r$でとなり， 定理1の等式を満たす整数$q$と$r$が存在した．

つぎに，このような $q,\ r$ が二通りあったとする． それを $q_1,r_1$ と $q_2,r_2$ とする． $q_1=q_2$なら $r_1=r_2$ である．$q_1>q_2$ とする． つまり, $q_1 \ge q_2+1$ とする．このとき，

$$a \ge q_1b \ge (q_2+1)b=q_2b+b >q_2b+r=a$$

となり，矛盾である． $q_1<q_2$ のときも同様である．

よって $q_1=q_2$ であり，その結果 $r_1=r_2$ である．□

$q$のことを$a$を$b$で割った商，$r$のことを余りという． $r=0$ であるとき，つまり

$$a=bq\quad (b \ne 0)$$

となる整数$q$が存在するとき，$a$は$b$で割り切れるといい，$b\vert a$ と表す． このとき，$a$ は $b$ の倍数，$b$ は $a$ の約数である，という．

注意 1.2.1   定理1の$r$の範囲をかえて次の命題にしても成立する．

$a$ を任意の整数, $b$ は正の整数とする．このとき，

$$a=qb+r\ ,\quad -\dfrac{b}{2} \le r<\dfrac{b}{2}$$

となる整数 $q,\ r$ がただ一組存在する．

一般に$e\le r <e+b$と幅一の半開区間を指定してもよい．

整数の集合 $\mathbb{Z}$ では除法の定理が土台になる． 代数的整数といわれる世界では，この除法の定理は成り立たない．

例 1.2.1        $b=12$ とする．

• $a=50$： $50=4\cdot 12+2$ ．
• $a=-50$： $-50=(-5)\cdot 12+10$ ．
• $a=-5$： $-5=(-1)\cdot 12+7$ ．