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素数の分布とは

素数を1から100までのなかで書くと

$$\begin{array}{l} 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,... ...53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97 \end{array}$$

の25個ある．ところが5900から6000のなかでは

$$5903,\ 5923,\ 5927,\ 5939,\ 5953,\ 5981,\ 5987$$

の7個しかない． 5900から6000の間の数$N$が$N=mn$と因数分解できて$m\le n$とすると，$N=mn\ge m^2$となるが

$$73^2=5329,\ 79^2=6241$$

なので，小さい方の素因数は73以下である．73までの素数で順に割って割り切れるものを除くことで5900から6000の間の素数はこれだけであることがわかる．

正整数$n$が素数であるかどうかを判定したければ，$p^2 \le n$の範囲の素数$p$で割ってみればよい．いずれでも割り切れなければ素数と判定してよい．

例 7.1.1        1999は素数である．

$43^2=1849$，$47^2=2209$なので， $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43$で割れるかどうかを調べればよい． いずれでも割り切れないので素数であることがわかる．

エラトステネスのふるい

このように， 順に素数で割って割り切れる数をふるいにかけて除く．$N$までの数に対して$\sqrt{N}$以下の素数まで調べる． そのいずれでも割りきれずに残ったものが$N$以下の素数である．

これが素数の選別法として有名なエラトステネスの篩(ふるい)である．エラトステネス（Eratosthenes，紀元前276頃〜前192頃)は古代ギリシアの数学者，天文学者，地理学者だった．はじめて赤道の周囲を測量し、約45000 km と算出した人でもある．主著は「地理学」である．

ところで「篩(ふるい)」とは何か． 「候補をふるいにかける」とか,「一次試験でふるい落とされる」などの言い方は残っているが「篩(ふるい)」そのものはなかなか見かけない．
1831年(天保2)に薩摩藩主島津重豪(しまづしげひで)が曾槃・白尾国柱らに命じて作らせた農業書『成形図説』 に図が載っているので紹介しよう．この書は農事・五穀・疎菜・薬草・草木・鳥類などについて，和漢洋の諸書で考証し，さらに綿密な図を掲げ，編纂させた百科全書である．全100巻の大部なものだ．和語，漢語，オランダ語の名前を記し，説明を付けている．

このような木製や竹製ではない現代のふるいは，工事しているところで小石を除くのに使われている．鉄製で電気で振動させている．

どのように素数が分布しているのかということを，素数の分布に関する問題という．これを考えるために，正の実数$x$を越えない素数の個数を$\pi(x)$と表そう．

$$\pi(100)=24,\ \pi(6000)-\pi(5900)=7$$

である．