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演習問題

問題 11   解答11     ［80京大理系］

互いに異なる $n$ 個（$n\ge 3$）の実数の集合 $S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ が次の性質をもつという．

「$S$ から相異なる要素 $a_i$，$a_j$ をとれば $a_i-a_j$，$a_j-a_i$ の少な くとも一方は必ず $S$ に属する」

このとき，

(1)

次の2つのうちのいずれか一方が成り立つことを示せ．
（イ） $a_i\ge 0\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
（ロ） $a_i\le 0\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

(2)

$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ の順序を適当に変えれば 等差数列になることを示せ．

問題 12   解答12     ［85お茶の水女子大］

自然数を要素とする空集合でない集合$G$が次の条件(i),(ii)を満たしているとする．

(i)

$m,\ n$が$G$の要素ならば，$m+n$は$G$の要素である．

(ii)

$m,\ n$が$G$の要素で$m>n$ならば，$m-n$は$G$の要素である．

このとき$G$の最小の要素を$d$とすると $G=\{kd\ \vert\ k\ は自然数\ \}$であることを証明せよ．

問題 13   解答13     ［99京大文前期改題］    ※原題は「下3桁」が「下2桁」．及び(3)は追加．

0以上の整数 $x$ に対して, $C(x)$ で $x$ の下3桁を表すことにする． たとえば， $C(12578)=578,\,C(6)=6$ である．$n$ を2でも5でも割り切れない正の整数とする．

1. $x$，$y$が0以上の整数のとき，$C(nx)=C(ny)$ ならば，$C(x)=C(y)$ であることを示せ．
2. $C(nx)=1$となる0以上の整数$x$が存在することを示せ．
3. $C(397x)=1$となる0以上の整数$x$で最小のものを求めよ．

問題 14   解答14     ［00大阪女子大］

$a,\ b$ は互いに素な正の整数とする．

(1)

$4m+6n=7$を満たす整数 $m,\ n$ は存在しないことを示せ．

(2)

$3m+5n=2$を満たすすべての整数の組 $(m,\ n)$ を求めよ．

(3)

$k$ を整数とするとき， $ak$ を $b$ で割った余りを $r(k)$ で表す． $k,\ l$ を $b-1$ 以下の正の整数とするとき， $k\ne l$ ならば $r(k)\ne r(l)$ であることを示せ．

(4)

$am+bn=1$ を満たす整数 $m,\ n$ が存在することを示せ．

問題 15   解答15     ［00京大理系後期］

$xy$ 平面上の点で $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数である点を格子点という．

$a,\ k$ は整数で $a\ge 2$ とし，直線

$$L\ :\ ax+(a^2+1)y=k$$

を考える．

(1)

直線 $L$ 上の格子点を一つ求めよ．

(2)

$k=a(a^2+1)$ のとき， $x>0,\ y>0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点は 存在しないことを示せ．

(3)

$k>a(a^2+1)$ ならば， $x>0,\ y>0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点が 存在することを示せ．

問題 16   解答16     ［08名大理系］

次の問いに答えよ．

(1)

$3x+2y\le 2008$ を満たす0以上の整数の組$(x,\ y)$の個数を求めよ．

(2)

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}\le 10$ を満たす0以上の整数の組$(x,\ y,\ z)$の個数を求めよ．

問題 17   解答17     ［12山梨大後期］

$f(m,\ n)=m^2-mn+n^2$とおく． 自然数$k$に対して，平面上の点$(m,\ n)$の集合

$$X(k)=\{(m,\ n)\ \vert\ m,\ n\ は整数，f(m,\ n)=k\ \}$$

を考える．

(1)

$X(k)$は有限集合であることを示せ． また，$X(1)$の要素をすべて求めよ．

(2)

$k=2,\ 4$に対して， $X(k)$の要素の個数をそれぞれ求めよ．

(3)

自然数$r$に対して，$X(2^r)$の要素の個数を求めよ．

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