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演習問題

問題 27   解答27     ［90京都教育大］

まず整式に関する用語の確認をする．

• 整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であるとは$f(x)p(x)=g(x)$ を満たす整式$p(x)$が存在することをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$の約数であり，かつ，$g(x)$の約数でもあることをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$，$g(x)$の公約数の中で次数が最大のものであることをいう． ($f(x)=g(x)=0$の場合は除く)．

これらの用語に注意して,次の問に答えよ．

(1)

整式$f(x)$は$f(x)$の約数であることを示せ．

(2)

0と異なる整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であれば， $f(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であることを示せ．

(3)

$f(x)$が0とは異なる整式で， 整式$g(x)$を$f(x)$で割った余りが$r(x)$であるとする． いま，整式$d(x)$が$r(x),\ f(x)$の最大公約数であるとすれば， $d(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数でもあることを示せ．

問題 28   解答28     ［06京大文理系前期1番3番］

$Q(x)$を2次式とする．整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが， $\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという． このとき2次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ．

問題 29   解答29     ［06京大文理系後期1番3番］

1次式$A(x)$，$B(x)$，$C(x)$に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$が成り立つとする． このとき$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることを示せ．

問題 30   解答30     ［02中部大改題］

$f(x)=x-1,\ g(x)=(x+1)^3$であるとき，

$$p(x)f(x)+q(x)g(x)=1$$

を満たす整式$p(x),\ q(x)$の組のなかで，$p(x)$の次数が最小である組， および$p(x)$の最高次数の係数が1であるなかで次数が最小の組，をそれぞれ求めよ．