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三角形の成立条件と距離の公理

南海　 われわれの$xy$平面は普通のユークリッドの距離が定まっているとする．

距離という以上，それは負でない実数値が定まり， また点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離が 点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{A}$の距離に等しく， さらに$\mathrm{AB}=0$であることは $\mathrm{B}=\mathrm{A}$と同値でなければならないだろう．

しかしこれだけで距離とすると，実はいろいろな距離ができすぎる． つまり余りに広い定義は，数学の定義としては意味がないのだ． もう少し，これこそ距離だ，といえるように距離を特徴づけなければならない．

そのために，われわれの日頃使っている距離について調べておかねばならない．

2点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)$と 原点$\mathrm{O}$に対して， $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$が成立しているとする． つまりどの3点も同一直線上にないとする．

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{OA}&=&\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}\\ \mathrm{OB}&=&\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}\\ \mathrm{AB}&=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{eqnarray*}$$

である．これらの間にどのような関係が成り立っているか．

美樹　 これらの間の関係って，三角形の成立条件ですか．

南海　 そうだ．そこでまず三角形の成立条件とは何か．

美樹　

定理 2

3つの正数$a,\ b,\ c$を3辺の長さとする三角形が存在するための 必要十分条件は，不等式

$$a<b+c,\ b<c+a,\ c<a+b \quad \cdots\maru{1}$$

が成り立つことである．

南海　 不等式は$c$に注目すれば

$$\vert b-a\vert<c<b+a$$

ともかける．どの文字についても同じである． そこで，定理2を証明してほしい．

美樹　 はい．まず必要条件を示します． 平面に $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$があり， $\mathrm{OB}=a,\ \mathrm{OA}=b,\ \mathrm{AB}=c,\$とする．

$\mathrm{O}$が原点になるように平行移動し， 他の2点の座標が $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)$ であるとする． このとき

$$\vert\mathrm{OA}-\mathrm{OB}\vert<\mathrm{AB}<\mathrm{OA}+\mathrm{OB} \quad \cdots\maru{2}$$

が成立することを示せばよい．

$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$と$\mathrm{AB}$の大小は，その2乗である $(\mathrm{OA}+\mathrm{OB})^2$と$\mathrm{AB}^2$の大小と一致します．

また $\vert\mathrm{OA}-\mathrm{OB}\vert$と$\mathrm{AB}$の大小は，その2乗である $(\mathrm{OA}-\mathrm{OB})^2$と$\mathrm{AB}^2$の大小と一致します．

そこで$\maru{2}$の両辺を2乗して差をとる．

$$\begin{eqnarray*} &&(\mathrm{OA}+\mathrm{OB})^2-\mathrm{AB}^2\\ &=&(\sqrt{{x_1}... ... &=&2\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)}+2(x_1x_2+y_1y_2) \end{eqnarray*}$$

また，

$$\begin{eqnarray*} &&\mathrm{AB}^2-(\mathrm{OA}-\mathrm{OB})^2\\ &=&(x_1-x_2)^2+... ... &=&-2(x_1x_2+y_1y_2)+2\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)} \end{eqnarray*}$$

です．

これがともに正であることは

$$-\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)} <x_1x_2+y_1y_2 <\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)}$$

と同値，つまり

$$(x_1x_2+y_1y_2)^2<({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)$$

と同値です． これってコーシー・シュワルツの不等式ですね．

そこで右辺から左辺を引くと

$$({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2 =(x_1y_2-x_2y_1)^2$$

となる． ところが $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$が三角形になるとき， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は平行でないので， 平行条件が成立せず

$$x_1y_2-x_2y_1\ne 0$$

です．よって

$$(x_1y_2-x_2y_1)^2>0$$

となる．これで三角形の成立条件の不等式が示された．

十分条件を示す．

    $\maru{1}$を満たす3正数$a,\ b,\ c$がある． $a,\ b,\ c$を3辺とする三角形が存在することは， 次のように図形的に示される．

つまり，長さ$c$の線分$\mathrm{AB}$をとる． 点$\mathrm{A}$を中心に半径$b$の円と， 点$\mathrm{B}$を中心に半径$a$の円をかく．

    $\maru{1}$は，この2円の中心間の距離cが， 半径の和$b+a$よりも小さく， 半径の差の絶対値$\vert b-a\vert$よりも大きいことを意味している．

よってこの2円は交わる． 交点を$\mathrm{O}$とすれば， $\mathrm{OA}=b,\ \mathrm{OB}=a$となり， 3辺が$a,\ b,\ c$の $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$が存在した．

これで定理2が示された．□

南海　 十分条件の証明は図形に頼った． それも証明にはなっているのだが， 円が交わる条件を無前提に使っている．

美樹　 使わずにできるのですか．

南海　 図形に頼らない十分条件の証明も試みてみよう． 三角関数を念頭においたものだが，三角関数は使わない．

    $\maru{1}$を満たす3正数$a,\ b,\ c$がある． このとき，$\mathrm{O}$を原点とし， $\mathrm{A}(b,\ 0)$とする．

点 $\mathrm{B}(X,\ Y)$を

$$X=a\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\ Y=a\cdot\sqrt{1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)^2}$$

で定める．

条件$\maru{1}$は各辺が負でないので

$$(b-a)^2<c^2<(b+a)^2$$

と同値である．

これから

$$b^2+a^2-c^2<2ab,\ -2ab<b^2+a^2-c^2$$

と同値なので

$$-1<\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<1$$

つまり

$$\left\vert\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right\vert<1$$

である．したがって

$$1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)^2>0$$

であるから，これは確かに$x$軸上にない$xy$平面上の点を定めている．

美樹　 あとは

$$\mathrm{OB}=a,\ \mathrm{AB}=c$$

を確認すればよい．やってみます．

作り方から は明らかです．

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{AB}^2&=&(X-b)^2+Y^2\\ &=&\left(a\cdot\dfrac{a^2+b^2-c... ... &=&\dfrac{(2a^2-2c^2)\cdot(-2b^2)}{4b^2}+a^2 =-a^2+c^2+a^2=c^2 \end{eqnarray*}$$

確かに成りたちます．

よって$a,\ b,\ c$を3辺とする三角形が存在した． □

美樹　 なるほど．条件を満たす点を実際に構成するのですね．

南海　 もちろんこのように$X,\ Y$を定めたのは， $\angle \mathrm{BOA}=\theta$としたとき， $a\cos\theta,\ a\sin\theta$が念頭にあり，それをヒントにしているが， 見つかってしまえば，三角関数とは独立に，定理が示せている．

三角性の成立条件の不等式のことを三角不等式ともいう．

美樹　 三角不等式は， 三平方の定理で特徴づけられる距離から導かれる結果なのですね．

南海　 そう． ただし，今度は距離という概念を定義しようとすると， 三角不等式を距離が満たすべき性質の一つとしなければ， 意味のある定義にはならない．

3点が同一直線上にある場合を含めると， 2点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$の間の距離$\mathrm{AB}$というものは， 次の性質をもっている． 平面上の任意の3点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に関して

ここでこれをふまえて集合$X$の「距離」という概念を定義しよう．

定義 1

距離の公理 集合$X$の上に 2変数実数値の写像 $d(x,\ y)$が定義されていて、 $X$の任意の要素$x,\ y,\ z$に対して， $d$が距離の公理とよばれる次の性質を全て満たすなら， $d$は$X$上の距離であるという．

1. 非負性(半正定値性): $d(x,\ y)\ge0$，
2. 同一性(非退化性): $d(x,\ y)=0 \ \iff \ x=y$，
3. 対称性: $d(x,\ y)=d(y,\ x)$，
4. 三角不等式： $d(x,\ y)+d(y,\ z)\ge d(x,\ z)$

美樹　 すると 2点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$に対して

$$d(\mathrm{P},\ \mathrm{Q})=\vert x_1-x_2\vert+\vert y_1-y_2\vert$$

と定めるとき，$d$は距離でしょうか． 確認してみます．

1. $\vert x_1-x_2\vert+\vert y_1-y_2\vert\ge 0$は成立．
2.  
$$\begin{eqnarray*} &&\vert x_1-x_2\vert+\vert y_1-y_2\vert=0\\ &&\vert x_1-x_2\vert=0,\ \vert y_1-y_2\vert=0\\ &&\mathrm{P}=\mathrm{Q} \end{eqnarray*}$$


も成立．
3. $\vert x_1-x_2\vert+\vert y_1-y_2\vert=\vert x_2-x_1\vert+\vert y_2-y_1\vert$より， 対称性も成立．
4. $\mathrm{R}(x_3,\ y_3)$とします．
   $$\begin{eqnarray*} &&d(\mathrm{P},\ \mathrm{Q})=\vert x_1-x_2\vert+\vert y_1-y_2... ...rt\\ &=&d(\mathrm{R},\ \mathrm{P})+d(\mathrm{R},\ \mathrm{Q}) \end{eqnarray*}$$
   
   
   三角不等式も成立します．

この$d$も距離なのですね．

でもこの距離は，$\mathrm{AB}$を斜辺とする 直角三角形 $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$において

$$d(\mathrm{A},\ \mathrm{B}) =d(\mathrm{C},\ \mathrm{B})+d(\mathrm{C},\ \mathrm{B})$$

なので，三平方の定理は成立しません．

南海　 そうなんだ． だから逆にいうと，三平方の定理は， 普通の距離，ユークリッドの距離を特徴づけるものなのだ．

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