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二項分布

1回の試行であることが起こる確率が $p$ であるとき， $q=1-p$とおけば $n$ 回の試行中 $k$ 回そのことが起こる確率は ${}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}$ である．

ここで確率変数$X$を$n$ 回の試行中そのことが起こる回数とする．

$$P(X=k)={}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}$$

この確率分布を二項分布という．

史織　 これって独立試行の確率そのものではありませんか． この確率は標本空間は何ですか．

南海　 $n$回の試行でそのことが起これば○，起こらなければ×，とすると，

$$\begin{array}{l} (×,\ ×,\ \cdots ,\ ×)\\ (○,\ ×,\ \... ...,\ \cdots\\ \cdots \\ (○,\ ○,\ \cdots ,\ ○) \end{array}$$

と，何回目に起こるかを指示したもの全体が標本空間である．

史織　 そうか．$k$回起こる各々の確率が$p^kq^{n-k}$でそれが ${}_n\mathrm{C}_k$通りあるから，確率が ${}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}$ なのだ．

南海　 この確率分布は，二項定理

$$(p+q)^n=\sum_{k=0}^n{}_n{\rm C}_kp^kq^{n-k}$$

の$p$について$k$次の項が$k$回起こる場合の確率を与えるので二項分布というのだ．

このとき，起こる回数の期待値 $E$ は

$$E=\sum_{k=1}^n k {}_n{\rm C}_kp^k(1-p)^{n-k}=np$$

となる．

これを示すために二項定理は$p$と$q$の恒等式なので，これを$p$で微分して

$$n(p+q)^{n-1}=\sum_{k=1}^nk{}_n{\rm C}_kp^{k-1}q^{n-k}$$

この係数比較から

$$k {}_n{\rm C}_k =n{}_{n-1}{\rm C}_{k-1}$$

を得る．これを用いる．

$$\begin{eqnarray*} ∴\quad E&=&\sum_{k=1}^n k {}_n{\rm C}_kp^k(1-p)^{n-k}\\ &=&\... ...n-1}{\rm C}_{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=&np\{p+(1-p)\}^{n-1}=np \end{eqnarray*}$$

二項分布に係わる最近の問題を紹介しよう．

演習 20       ［04九大前期文理系］解答20

$n$を3以上の自然数とする．スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に$n$個並んでいる． これらの$n$個の電球のスイッチを同時に入れたあと，左から電球の色を見ていき，色の変化の回数を調べる．

1. 赤青…青，赤赤青…青，……のように左端が赤色で色の変化がちようど1回起きる確率を求めよ．
2. 色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ．
3. 色の変化がちょうど$m$回 $\ (0\le m\le n-1)$起きる確率を求めよ．
4. 色の変化の回数の期待値を求めよ．