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教科書は何といっているか


南海  今日は,「命題と条件」について考えよう. 「命題」を土台にして「条件」とは何かを明確にすることが目的だ.

史織  さっそくですが.私の教科書では論証に関する記述が「必要条件と十分条件」で初めて 出てきます.その最初に次のように書かれています.

二つの事柄 $p,\ q$ に対して, $p\Rightarrow q$ がなりたつとき

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
q は p であるための\ \textbf{必要条件}\ ..
...\
p 、マ q 、ヌ、「、・ソ、皃ホ\ \textbf{ススハャセ魴陜\ である
\end{array}\end{displaymath}

という.
と書かれています.この「事柄」って何なんでしょうか.「条件」ではないのですか.

南海  うーん.確かにこれは難しい問題だ.数学的「事柄」であるにはちがいないが. 「事柄」では少し漠然としている. 「必要『条件』」などと用いられる以上, $p$ は「条件」であるはずだ,というのはもっともだ.

具体的に考えてみよう.簡単なものでいいから例を作ってほしい.

史織  $p$ を「16は4の倍数である」, $q$ を「16は2の倍数である」とすると,これは $p\Rightarrow q$の例になっているのでしょうか.

南海  「事柄」というからには今あげてくれた $p$$q$ も事柄には違いない. 「$16=4\times 4$より $16は4の倍数\ \Rightarrow\ 4は2の倍数\ \Rightarrow\ 16 は2の倍数$」 は推論としてはあり得る.だから例には違いないのだが, $p$$q$ もそれ自身で真であることが確定する命題である.

事柄といえばこのようなものも入る. しかし必要条件や十分条件を考える例としては $p$$q$ は成立するときもしないときもあって $p$ が成立する「ならば」 $q$ が成立する,あるいはその逆に $q$ が成立する「ならば」 $p$ が成立する, というものでないと,実質的な数学上の意味がない.

そういう例をあげてほしい.

史織  では, $p$ を「$x$は4の倍数である」, $q$ を「$x$は2の倍数である」とすると,これは $p\Rightarrow q$の例になっているのでしょうか.

南海  そうだ.このばあい $p\Rightarrow q$は「$x$が4の倍数である,ならば,$x$は2の倍数である」 という命題になり.教科書が言いたかった例になっている.

史織  この「$x$は4の倍数である」はやはり「事柄」というよりは「条件」ですね. でも,自分でいっておきながら何ですが,「条件」とは何ですか.

南海  それを考えるために,まず「命題」や「真」の意味を明確にしなければならない. なぜなら,上の教科書の記述の中に,表には出されていないが,「命題」と「真」という 概念が使われている.どこに隱されているかな.

史織  そうか. $p\Rightarrow q$が命題ですね. 「なりたつとき」とうのは「真であるとき」ですね.そうか,必要条件や十分条件とは何か を明確に述べるには,先に「命題」とか「真」とかがはっきりしていないといけないのですね.

南海  それで,これらについて教科書はどのようにいっているか.

史織  「命題と証明」に次のように定義されています.

式や文章で表された事柄で,正しいか正しくないかが,明確に決まるものを命題という. 命題が正しいことをであるといい,正しくないことを偽であるという.

南海  なるほど.「事柄」は定義されていないが,数学的現象について何らかの事実や推論を述べたもの, と言いかえてもいいだろう.

「命題」はいくらでも複雜なものがあり得るが,いちばん単純なのは, 「何々について述べる」という主題の部分(主部)と, 「何々である」とそのものの内容を述べる述語の部分(述部)から成り立っている, 断定型である.「3は奇数である」とかのたぐいだ.

これに対して $p\Rightarrow q$という形をした推論型も命題である.

もちろん「3は奇数である」は「ある数が3なら,その数は奇数である」と状況を 複雜に設定すればわかるように,断定型も掘りさげれば推論を含んでいる.

一応ここでは,命題には事実を述べた断定型と,推論を述べた推論型がある,と考えよう. のちに述べるが,推論型命題を普通は「含意命題」という.

史織  推論型について,教科書では続いて次のように書かれています.

\begin{displaymath}
n\ が奇数ならば \quad n^2-1\ は8の倍数である
\end{displaymath}

のように二つの条件 $p,\ q$ を用いて

\begin{displaymath}
p\ ならば\ q \quad すなわち \quad p \Rightarrow q
\end{displaymath}

の形に表される命題を考えよう.

このとき, $p$ をこの命題の仮定$q$結論という.
と書いてあります.

するとやはり最初の私の質問にある「事柄」は「条件」ですね.しかし肝心の「条件」とは何か, よくわかりません.



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