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命題と命題関数

南海　 確かに．教科書では「条件」とは何かについて，明確には述べられていない．

教科書では，命題よりも先に必要条件や十分条件，つまりは「条件」が出てくる構成になっている． そのため「条件」とは何かが明確にならないのだ．

「命題」ははっきりとわかったものとし，これを基本にして，順次考えていこう．

史織　 条件を組み合わせて「命題」ができるので，「条件」を先に定義しないといけないと思うのですが， 命題が先なのですか．

南海　 そうだ．いくつか「命題」をあげてほしい．

史織　 真か偽が明確に定まる文章や式，だから…

1. 6は偶数である．
2. 6は奇数である．
3. $2+3=5$
4. $5>9$
5. $\sqrt{2}$は無理数である．
6. $\sqrt{2}$は有理数である．
7. $\sqrt{2}$は複素数である．
8. 16は4の倍数である
9. $x$ が4の倍数であるならば $x$ は2の倍数である．

最初の八つは断定型，最後のが推論型です．

南海　 するとちょっと質問だが，最後の例の前後を逆にした， 「$x$ が2の倍数であるならば $x$ は4の倍数である．」は命題か．

史織　 $x$ が8ならいいが，6のときは成り立たない．ということは「反例」があったということ． つまり「$x$ が2の倍数であるならば $x$ は4の倍数である．」は偽です． つまり偽と判断できるのでこれも命題です．

南海　 その通り．これはもとの命題の「逆」というのだ．これについては後に詳しく考えよう．

さて「16は4の倍数である」は命題であるが，この16を変数 $x$ に変えた 「 $x$ は4の倍数である」は ，$x$ に何が入るのかによって真になったり偽になったりする．

先に言ったように，命題の基本型である断定型は， 一般に命題は主部(何について述べるか)と述部(述べた内容)よりなるが， その主部を適当な変数，例えば $x$ などに置きかえたものを命題関数 という．そしてこれを $p$ や，変数を明確にしたいときは $p(x)$ のように書く．

例えば， $p(x)$ ：「$x$ は偶数である．」のようなものだ． 命題関数 $p(x)$ はそれ自体真偽が定まらないから命題ではない． $x$ に値を代入することによって命題になる．

1. $p(3)$ ，つまり「3 は偶数である．」は偽．
2. $p(4)$ ，つまり「4 は偶数である．」は真．

というわけだ．

史織　 関数というからには何かの値をとるのですね．この場合の値は何ですか．

南海　 「真」と「偽」だ．この二つの値をとる．だから上の例では $p(3)=偽，p(4)=真$ というわけだ．

さてそこで「条件」だが，命題関数 $p(x)$ のことを「 $x$ に関する条件」ともいうのだ．

史織　 命題の定義にたちかえっていうと，文字を $x$ とすれば， 条件とは「$x$ に代入することによって真偽が定まる式や文章」のことですね．

南海　 そのように考えてよい． 何となく使ってきた「条件」もこのようにして明確に定義される．

史織　

$$2次方程式\ x^2+ax+b=0 は実根をもつ$$

は，文字 $a$ と $b$ に関する条件，と理解してきました．上の書き方では命題関数 $p$ を

$$p(a,\ b) ：「x^2+ax+b=0 は実根をもつ」$$

となり， $a^2-4b \ge 0$を満たす $a$ と $b$ なら真，そうでなければ偽の値をとるのです．

南海　 これからは必要に応じて 「命題関数」といったり「条件」といったりするが，同じことだと考えてよい． 「条件」がはっきりした．これをもとにいろいろ考えよう．