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命題関数と真理集合

史織　 命題関数の値域は真か偽の二つであるということはわかりました． 関数というかぎり定義域もあるのですね．

南海　 定義域というのは，普通の関数と同じく命題関数 $p(x)$ によっても規定されるし， またそのうちのどこを定義域とするかを定めることもできる．

例えば

$$p(x) ：「x>4」$$

なら必然的に定義域は実数範囲だが，さらにそのうち整数だけを定義域とすることもできる．

さて，$U$ を定義域とする命題関数 $p(x)$ に対して， $U$ の部分集合 $T$ を

$$T=\{\ x\ \vert\ p(x)=真,\ x \in U\ \}$$

で定め，これを命題関数 $p(x)$ の真理集合という． $T$ は $T_p$ のように $p$ を 明記して書くこともある．

史織　 上の $p(x)\ :\ x>4$ を定義域を実数として考えると，まず $p(x)$ は 「実数 $x$ に関する条件 $x>4$ 」のことで， $p(x)$ の真理集合とは，実数 $x$ で 条件$x>4$を満たすものの集合のことです．

すると方程式や不等式の解も真理集合ですね．

南海　 するどい．2次方程式

$$x^2-3x+2=0$$

は $x$ に関する条件とも考えられる．定義域は複素数全体 $C$ だ．

$$p(x)\ :\ x^2-3x+2=0$$

このとき

$$T=\{\ x\ \vert\ p(x)=真,\ x \in C\ \}=\{\ 1,\ 2\ \}$$

となり，まさに解の集合だ．

このように，命題関数，つまり「条件」を考えるときはその真理集合を同時に考えるとよい．