次： 数学の論証 上： 命題の構成 前： 条件から命題を作る

必要条件と十分条件

史織　 最初の教科書による必要条件・十分条件もはっきりしました．

二つの条件 $p(x),\ q(x)$ に対して，その含意命題 $p(x)\Rightarrow q(x)$ が真のとき

$$\begin{array}{l} q(x) は p(x) であるための\ \textbf{必要条... ...x) は q(x) であるための\ \textbf{十分条件}\ である \end{array}$$

という．

ということです．

南海　 真理集合との関係で必要条件，十分条件を特徴づければどうなるのか．

史織　 $p(x)\Rightarrow q(x)$ が真ということは， $p(x)$ を真とする $x$ はすべて $q(x)$ を真とする，ということですから， これまでと同じく条件 $p(x)$ の真理集合を $T_p$ と表すと

$$p(x)\Rightarrow q(x)\ が真$$

であることと

$$T_{p(x)} \subset T_{q(x)}$$

は，同じことになります．

ですから

$$T_{p(x)} \subset T_{q(x)}$$

なら，

$$\begin{array}{l} q(x) は p(x) であるための必要条件である\\ p(x) は q(x) であるための十分条件である \end{array}$$

ということです．

そして $p(x)\Rightarrow q(x)$ と $q(x)\Rightarrow p(x)$ がともに真のとき， つまり$p(x)$ は $q(x)$ であるための 必要十分条件 であるとき， 2つの条件$p(x)$ と $q(x)$ は同値であるといいます．

南海　 その通り．一点注意．同値性は定義域$U$をどのようにとるかで変わるということだ．

$U$を実数にとれば，条件 $x<1$ と $x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ は同値ではない．しかし $U$を整数にとれば，条件 $x<1$ と $x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ は同値である．

同値であることは，それぞれの真理集合が一致することだ．

演習 22       ［00上智大法］    解答22

からには下の選択肢(a)，(b)，(c)，(d)から正しいものを選んで入れよ．

1. $n$ を整数とする．$n$ が6または15で割り切れることは， $n$ が30で割り切れるための．
   $1 \le n \le 300$ をみたし，6または15で割り切れる $n$ は全部で 個ある．
2. $m,\ n$ を整数とする．$m+n,\ mn$ がともに12で割り切れることは， $m,\ n$ がともに6で割り切れるための．
   $1 \le m \le n \le 100$ をみたし，$m+n,\ mn$ がともに12で割り切れる $m,\ n$ の組は全部で個ある．
3. $l,\ m,\ n$ を整数とする． $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて5で割り切れる ことは， $l,\ m,\ n$ がすべて5で割り切れるための．
   
4. $l,\ m,\ n$ を整数とする． $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて30で割り切れる ことは， $l,\ m,\ n$ がすべて30で割り切れるための．
   $1\le l \le m \le n \le 100$ をみたし， $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ が すべて30で割り切れる $l,\ m,\ n$ の組は全部で個ある．

    選択肢：
    (a)必要十分条件である．
    (b)必要条件であるが十分条件ではない．
    (c)十分条件であるが必要条件ではない．
    (d)必要条件でも十分条件でもない．