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証明とは


南海  証明とは何か.これに対するもっとも端的な記述を見つけたので紹介しよう.
『数学と新しい論理』(本橋信義著,遊星社)
仮定と結論という二つの命題を眺め,適当な視点と主題を探し, その主題の下で仮定と結論を解釈して, 両者を結びつける根拠法則を見つけ出すことが,推論という行為の本質なのです.

これにつけ加えることはない.『高校数学の方法』はこれに対する実践的な方法論だ.

史織  「仮定」と「結論」は条件のこととして先に出てきましたが,本来は命題のことなのですね.

南海  命題のことだ.数学の論述は,命題から命題関数,つまり条件がつくられ,条件を組み合わせて 命題が構成され,またそこから条件がつくられ…,と何重もの階層構造をもっている.

これは教科書にのっていることだが, $P$$Q$ を命題または条件として,一つの命題

\begin{displaymath}
P \Rightarrow Q
\end{displaymath}

から,新たに三つの命題ができる.
  1. $Q \Rightarrow P$:逆命題
  2. $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}$:裏命題
  3. $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$:対偶命題



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