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背理法

元の命題の真偽と対偶命題の真偽は一致する．なぜか．

史織　 これも教科書に載っています．

条件 $P,\ Q$ に対して「 $P \Rightarrow Q$が真」は $T_P \subset T_Q$ を意味します． 一方「 $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$が真」は $\overline{T_Q}\subset \overline{T_P}$ を意味します．ところが一般に集合 $A$ に対して $\overline{A}=U-A$ です．ここで $U-A$は全体集合から集合 $A$ の要素を取り除いたものです．

したがって

$$T_P \subset T_Q \quad \iff \quad U-T_Q \subset U-T_P \quad \iff \quad \overline{T_Q}\subset \overline{T_P}$$

となり，真理集合の包含関係の同値性から，元の命題と対偶命題の同値性が示されます．

南海　 なかなかよく勉強している． $P$ や $Q$ が自体が命題のときは$P$ や $Q$ を命題関数にして，同様に示せばよい．

南海　 さて証明における推論の方法なのだが，ここで直接証明と間接証明について触れておこう．

典型的な直接証明 は次のように行われる．

1. 命題 $P$ は真である．
2. 命題 $P \Rightarrow Q$ は真である．
3. ゆえに，命題 $Q$ は真である．

それに対して間接証明とは何か．命題$P$を証明したいときに，自明であったりその証明の前提となっている 適当な命題$Q$を用いて $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}$ を示す．これから $Q \Rightarrow P$が成り立つことが示され，$Q$を前提として$P$が成立することを示すことができる．

これが背理法だ．これについては『高校数学の方法』「背理法」で 具体的に詳しく述べたので見てほしい．

最後にもう一題演習問題を．

演習 23       ［02慶応改題］    解答23

次の二つの命題 $[P]$ ，$[Q]$ を考える．ただし $a,\ b$ は実数とする．
$[P]$     未知数を $x,\ y$ とする連立方程式 $\left\{ \begin{array}{l} ax+y=0\\ x+by=0 \end{array}\right.$ において， $x=y=0$ 以外の解で， $x\ge 0$ かつ $y\ge 0$ を満たすものがある．
$[Q]$     ベクトル $\overrightarrow{k}=(a,\ 1)$ ， $\overrightarrow{h}=(1,\ b)$ について $\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{q}>0$かつ $\overrightarrow{h}\cdot\overrightarrow{q}>0$となるベクトル $\overrightarrow{q}=(x,\ y)$がある．

1. 命題 $[P]$ が真となる点 $(a,\ b)$ の集合を求めよ．ただし，理由も示せ．
2. 命題 $[\overline{Q}]$ が真となる点 $(a,\ b)$ の集合を求めよ． ただし，理由も示せ．なお， $[\overline{Q}]$は命題$[Q]$の否定である．
3. 命題 $[P]$と$[Q]$ の関係を述べよ．