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判別式だけか

耕介　 そこで質問です．

２つの不変式を知りました．

第１．

方程式の$SL(2)$の変換に関して判別式や終結式は不変である．

第２．

$n$変数の変数の置きかえによる不変式，つまり対称式．

ところが，対称式の場合，

1. $n$変数の対称式は無数にある．
2. しかし，$n$個の基本対称式によって書き表すことが出来る．

が成り立ちます．すると，方程式の変換の場合も

1. 不変式は判別式以外にもあるのか．
2. それらはいくつかの不変式で書き表すことが出来るのか．

という問題が生まれます．

南海　 そうだ． 問題を自分の方から設定するのは大変いいことだ． 高校範囲で出来ることにはかぎりがあるが， ２次方程式の変換による不変式が， 判別式，またはそのべきしかないことを確認していこう．

これからは不変式論の伝統にしたがって， $n$次の方程式を

$$f(x)=a_0x^n+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ia_ix^{n-i}+\cdots+a_n$$ (5)

とおこう．

耕介　 ２次方程式の場合は

$$f(x)=ax^2+2bx+c=0$$

で考えるのですね．すると，変換式(1)も変わります． $b$と$b'$を$2b$と$2b'$に置きかえるので

$$(rx+s)^2f\left(\dfrac{px+q}{rx+s}\right) =a'x^2+2b'x+c'$$

とおくと

$$\left\{ \begin{array}{l} a'=ap^2+2bpr+cr^2\\ 2b'=2apq+2b(ps+qr)+2crs\\ c'=aq^2+2bqs+cs^2 \end{array}\right.$$

となり第２式が

$$b'=apq+b(ps+qr)+crs$$

となります．行列で書くと

$$\left( \begin{array}{c} a'\\ b'\\ c' \end{array}\right)= ... ...right) \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right)$$ (6)

となります． そして判別式は$D=4b^2-4ac$なので， $D/4=b^2-ac$について考えればいいです．

$SL(2)$の要素 $\sigma= \left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)$に対して，２次方程式の係数の変換(6)が定まる． この変換で不変なものが$b^2-ac$のみであることを示したい， ということですね．