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微分作用素

耕介　 それはいいかえると，$a,\ b,\ c$の整式 $f(a,\ b,\ c)$で，上の変換を施した

$$\left\{ \begin{array}{l} f(\alpha^2a,\ b,\ \alpha^{-2}c)\\... ...\ t^2a+2tb+c)\\ f(a+2ub+u^2c,\ b+uc,\ c) \end{array}\right.$$

が，任意の $\alpha,\ t,\ u$に対して$f(a,\ b,\ c)$と一致する， ということです．

南海　 これらの変換は$a,\ b,\ c$の１次式で定まるので， 単項式$a^ib^jc^k$の次数$i+j+k$を変えない． だから$f(a,\ b,\ c)$がこれらの変換で不変なら， その同次数の項を集めた部分が不変である． だからはじめから$f(a,\ b,\ c)$は３変数の同次式であるとしてよい．

$f(\alpha^2a,\ b,\ \alpha^{-2}c)$は 単項式$a^ib^jc^k$を単項式 $\alpha^{2(i-k)}a^ib^jc^k$ に変える． $f(\alpha^2a,\ b,\ \alpha^{-2}c)$が$a,\ b,\ c$ の整式として恒等的に$f(a,\ b,\ c)$と等しいのなら， 各単項式の係数が一致しなければならない． したがって $\alpha^{2(i-k)}=1$． つまり$i=k$である． よってこの変換 $f(\alpha^2a,\ b,\ \alpha^{-2}c)$で不変な同次式は， $a^ib^jc^i$という形をした次数の等しい単項類からなることが必要である． つまり，不変式は$a$と$c$で対称である．

したがって 群$T$と$U_+$で不変なら，必然的に$U_-$でも不変である． もちろん 群$T$と$U_-$で不変なら，必然的に$U_+$でも不変である． といってもよい．

耕介　 少しずつわかってきました． $f(a,\ b,\ c)$が$SL(2)$のこの作用で不変であるためには 変数$a$と$c$は必ず$ac$という形で入っていなければならない． だから$U_+$か$U_-$で不変であればよい．

ところで， $f(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)$が 任意の$t$で$f(a,\ b,\ c)$に等しいということは， $f(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)$を$t$で微分した 導関数が0，つまり文字係数$a,\ b,\ c$をもつ$t$の整式として

$$\dfrac{d}{dt}f(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)=0$$

ということではありませんか．

南海　 いいところに気がついた．

耕介　 この微分は合成関数の微分ですが， 変数が３個あるので難しいです．

南海　 $a,\ b,\ c$３変数の関数$f(a,\ b,\ c)$を その中の$a$について微分することを $\dfrac{\partial}{\partial a}$と書く．

$$\dfrac{\partial}{\partial a}f(a,\ b,\ c)=f_a(a,\ b,\ c)$$

とおこう．

耕介　 $f(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)$の項

$$a^i(ta+b)^j(t^2a+2tb+c)^i$$

を$t$で微分すると

$$\begin{eqnarray*} &&\dfrac{d}{dt}a^i(ta+b)^j(t^2a+2tb+c)^i\\ &=& a^i\cdot aj(ta... ...j-1}(t^2a+2tb+c)^i+ a^i(ta+b)^j\cdot (2ta+2b)i(t^2a+2tb+c)^{i-1} \end{eqnarray*}$$

となります．ですから

$$\dfrac{d}{dt}f(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)$$

$$= af_b(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)+2(ta+b)f_c(a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c)$$ (7)

となります．これがつねに0になるのですね． この式をよく見ると，

$$af_b(a,\ b,\ c)+2bf_c(a,\ b,\ c)$$

の$a,\ b,\ c$に， $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ t&1&0\\ t^2&2t&1 \end{array}\right)$によって変換した $a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c$を 代入したものに他なりません．

南海　 任意の$t$で0になるのだから$t=0$でも0になることが必要． これから恒等的に

$$af_b(a,\ b,\ c)+2bf_c(a,\ b,\ c) =\left(a\dfrac{\partial}{\partial b} +2b\dfrac{\partial}{\partial c}\right)f(a,\ b,\ c) =0$$ (8)

が必要． 一方，これは$a,\ b,\ c$の恒等式でもあるので， $a,\ b,\ c$に $a,\ ta+b,\ t^2a+2tb+c$を代入しても0． よって，(7)が成立． つまり(8)の成立は十分条件でもある． 以上を整理して次の定理が示された．

定理 6
３変数の整式$f(a,\ b,\ c)$が不変式であるためには，

(i)

各単項式の$a$と$c$の次数が等しい．

(ii)

$\left(a\dfrac{\partial}{\partial b} +2b\dfrac{\partial}{\partial c}\right)f(a,\ b,\ c)=0$

が必要十分条件である．

注意     先に注意したように$a$と$c$について対称なので次の条件でもよい．

(i)

各単項式の$a$と$c$の次数が等しい．

(iii)

$\left(2b\dfrac{\partial}{\partial a} +c\dfrac{\partial}{\partial b}\right)f(a,\ b,\ c)=0$

かっこ内の微分の組合せは， ３変数の関数に作用するので微分作用素という． これらの微分作用素を次のように置く．

$$\begin{eqnarray*} &&D=a\dfrac{\partial}{\partial b} +2b\dfrac{\partial}{\partial... ...ta=2b\dfrac{\partial}{\partial a} +c\dfrac{\partial}{\partial b} \end{eqnarray*}$$

耕介　 これは何にせよ， $a,\ b,\ c$３変数の整式を同じ３変数の整式に写します． つまり$K[a,\ b,\ c]$の要素を同じ$K[a,\ b,\ c]$に写します．

南海　 さらに２つの整式 $f,\ g\in K[a,\ b,\ c]$， および数定数$p,\ q\in K$に対して

$$\begin{eqnarray*} D(p f+q g)=p (Df)+q (Dg)\\ \Delta(p f+q g)=p (\Delta f)+q (\Delta g) \end{eqnarray*}$$

が成り立つ．

耕介　 ベクトル空間の線型写像のようです．

南海　 まさにそうだ．

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