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カルダノの解法によるまとめ

南海　 このように三次方程式が解けるようになったのは16世紀， イタリアのカルダノ（Girolamo Cardano 1501.9.24 - 1576.9.21）からである． カルダノの方法はもう少し技巧的だ． それを背景にした入試問題が2000年信州大学で出されている．

「カルダノの方法」を話そう．カルダノは

$$x=u+v$$

と分解して， $u,\ v$ 「二次方程式と3乗根」だけで求められるようにできないか， ということだった.

耕一　この $x$ を代入するのですね.

$$\begin{array}{l} (u+v)^3+p(u+v)+q=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \end{array}$$

だからもし

$$\left\{ \begin{array}{l} u^3+v^3+q=0\\ 3uv+p=0 \end{array}\right.$$

となる $u,\ v$ がとれればよい．

…あっ．これは解の公式のなかで， $y,\ z$ で作った式と同じです.

南海　だから当然同じ結果が得られるのだよ.

ここで，三次方程式の解法をまとめておこう．

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad \cdots \maru{1}$$

の解公式を作る．

［第1段階］

$x=t-\dfrac{b}{3a}$ とおく．

$$\begin{eqnarray*} && a \left(t-\dfrac{b}{3a} \right)^3+b\left(t-\dfrac{b}{3a} \... ...c\right)t+ \left(\dfrac{2b^3}{27a^2} -\dfrac{bc}{3a}+d \right) \end{eqnarray*}$$

ここで

$$p=-\dfrac{b^2}{3a^2}+\dfrac{c}{a},\ q=\dfrac{2b^3}{27a^3}-\dfrac{bc}{3a^2}+\dfrac{d}{a}$$

とおく．方程式1は

$$t^3+pt+q=0 \quad \cdots \maru{2}$$

となる．

［第2段階］

$t=u+v$ とおき2に代入する．

$$\begin{eqnarray*} t^3+pt+q&=&(u+v)^3+p(u+v)+q\\ &=&u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q \end{eqnarray*}$$

ゆえに

$$\left\{ \begin{array}{l} u^3+v^3+q=0\\ 3uv+p=0 \end{array}\right. \quad \cdots \maru{3}$$

となるように $u,\ v$ を定めれば，そのときの $u+v$ は2をみたし，解が得られる．
［第3段階］

3を満たす $u,\ v$ を求める． $v=-\dfrac{p}{3u}$ より

$$u^3+ \left(-\dfrac{p}{3u} \right)^3+q=0$$

$$∴ \quad u^6+qu^3-\dfrac{p^3}{27}=0$$

これから

$$u^3=-\dfrac{q}{2}\pm\sqrt{ \left(\dfrac{q}{2} \right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}$$

$$v^3=-q-u^3=-\dfrac{q}{2}\mp\sqrt{ \left(\dfrac{q}{2} \right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}$$

$u$ と $v$ は対称なので符号は一方のみをとればよい．

ここで $\omega$ を1の3乗根，つまり $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とする．

$$\begin{eqnarray*} ∴ \quad u&=&\omega^k\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} +\sqrt{ \left(\d... ...{q}{2} \right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}},\ \ (k=0,\ 1,\ 2) \end{eqnarray*}$$

［第4段階］

ゆえに2の解は

$$t=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{ \l... ... \right)^2 +\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}} \end{array}\right.$$

の三つである．

ここで $D=-(4p^3+27q^2)$ とおくと

$$t=\omega^k\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{6}\sqrt{-\dfrac{D... ...rac{q}{2}-\dfrac{1}{6}\sqrt{-\dfrac{D}{3}}}, \ \ (k=0,\ 1,\ 2)$$

ともかく，重解を持つ場合以外はこれが三つの解であり， $D=0$ のときこれらのなかに同じものが 出来ることがわかる．

［第5段階］

1の解は

$$p=-\dfrac{b^2}{3a^2}+\dfrac{c}{a},\ q=\dfrac{2b^3}{27a^3}-\dfrac{bc}{3a^2}+\dfrac{d}{a}$$

を代入し， $x=t-\dfrac{b}{3a}$としたものである．

$$D=-\left\{4 \left(-\dfrac{b^2}{3a^2}+\dfrac{c}{a} \right)^3 ... ...ac{2b^3}{27a^3}-\dfrac{bc}{3a^2}+\dfrac{d}{a}\right)^2\right\}$$

とおくと，

$$\begin{eqnarray*} x&=&-\dfrac{b}{3a}+\omega^k\sqrt[3]{-\dfrac{b^3}{27a^3}+\dfra... ...dfrac{d}{2a}-\dfrac{1}{6}\sqrt{-\dfrac{D}{3}}},\ \ (k=0,\ 1,\ 2) \end{eqnarray*}$$

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